Ecuación diofantina de "Solving mathematical problems" de Terence Tao

Question

Encontrar todos los enteros $n$ tal que la ecuación $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{n}{a+b}$ se satisface para algunos valores no nulos de $a$ y $b$ (con $a + b \neq 0$ ).

Estoy leyendo "Solving mathematical problems" de Terence Tao y estoy un poco atascado en este ejemplo en particular. Comienza de la siguiente manera:

Primero multiplicando los denominadores obtenemos

$$\frac{a+b}{ab} = \frac{n}{a+b}$$

y a partir de aquí sigue $$(a+b)^2 = nab.$$

Ampliando esto obtenemos

$$a^2+2ab+b^2-nab=0 \Leftrightarrow a²+ab(2-n)+b^2.$$

A partir de aquí sugiere utilizar la fórmula cuadrática para obtener

$$a= \frac{b}{2}[(n-2) \pm \sqrt{(n-2)^2-4}]$$

que no entiendo muy bien cómo se le ocurrió...

También señala que "esto parece muy desordenado, pero en realidad podemos convertir este desorden en nuestra ventaja. Sabemos que $a, b$ y $n$ son números enteros, pero hay una raíz cuadrada en la fórmula. Ahora bien, esto sólo puede funcionar si el término dentro de la raíz cuadrada, $(n-2)^2-4$ es un cuadrado perfecto".

¿Podría alguien aclararme la parte "Ahora bien, esto sólo puede funcionar si el término dentro de la raíz cuadrada, $(n-2)^2-4$ es un cuadrado perfecto". ¿Qué está afirmando aquí?

Answer 1

Él llegó a la ecuación de $a$ viendo la ecuación anterior como una cuadrática en $a$ . El término constante es $b^2$ y el término lineal es $b(2-n)$ . Los introdujo en la fórmula cuadrática para obtener la ecuación de $a$ .

Entonces sabemos que $a,b$ son números enteros, lo que significa que la raíz cuadrada debe ser también un número entero. Para que la raíz cuadrada sea un número entero, lo que se toma como raíz tiene que ser el cuadrado de un número entero, así que $(n-2)^2-4$ debe ser un cuadrado. Los únicos cuadrados que difieren en $4$ son $0$ y $4$ Así que $(n-2)^2$ debe ser $0$ o $4$ . Eso diría $n$ podría ser $0,2,4$ pero $0$ está claramente prohibido.

Answer 2

El autor encuentra la identidad $$a= \frac{b}{2}[(n-2) \pm \sqrt{(n-2)^2-4}],$$ aplicando la fórmula cuadrática a la ecuación anterior, que es cuadrática en $a$ : $$a^2+b(2-n)\cdot a+b^2=0.$$ Introduciendo los coeficientes en la fórmula cuadrática se obtiene $$\begin{eqnarray*} a&=&\frac{-b(2-n)\pm\sqrt{(b(2-n))^2-4b^2}}{2}\\ &=&\frac{b(n-2)\pm\sqrt{(4b^2-4b^2n+b^2n^2)-4b^2}}{2}\\ &=&\frac{b(n-2)\pm\sqrt{b^2n^2-4b^2n}}{2}\\ &=&\frac{b(n-2)\pm|b|\sqrt{n^2-4n}}{2}\\ &=&\frac{b(n-2)\pm b\sqrt{(n-2)^2-4}}{2}\\ &=&\frac{b}{2}\Big((n-2)\pm\sqrt{(n-2)^2-4}\Big). \end{eqnarray*}$$ A continuación, se puede reescribir la igualdad $$a= \frac{b}{2}[(n-2) \pm \sqrt{(n-2)^2-4}],$$ para aislar la raíz cuadrada. Verás que $$\sqrt{(n-2)^2-4}=\pm\Big(2a-b(n-2)\Big).$$ Porque $a$ , $b$ y $n$ son números enteros, el lado derecho es un número entero. Esto significa que el término dentro de la raíz cuadrada es un cuadrado perfecto; significa $$(n-2)^2-4=\Big(2a-b(n-2)\Big)^2.$$

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Como nota al margen, las preguntas pueden resolverse con muchos menos cálculos si se observa que $$(a+b)^2=nab,$$ implica que $a$ divide $b$ y $b$ divide $a$ Así que $b=\pm a$ . Porque $a+b\neq0$ esto significa $a=b$ y la ecuación anterior se convierte en $$na^2=(a+a)^2=4a^2,$$ que muestra que $n=4$ porque $a$ es distinto de cero.

Answer 3

En cuanto a su primera ecuación, con la fórmula

$$a^2+ab(2-n)+b^2 \tag{1}\label{eq1A}$$

Considera que $n$ y $b$ son constantes, con sólo $a$ siendo una variable. En ese caso, es un polinomio cuadrático en $a$ de la forma

$$a^2 + ca + d \tag{2}\label{eq2A}$$

donde $c = b(2-n)$ y $d = b^2$ . Así, utilizando la fórmula cuadrática se obtiene

$$\begin{equation}\begin{aligned} a & = \frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4d}}{2} \\ & = \frac{-b(2-n) \pm \sqrt{(-b(2-n))^2 - 4(b^2)}}{2} \\ & = \frac{b}{2}\left((n - 2) \pm \sqrt{(n-2)^2 - 4}\right) \end{aligned}\end{equation}\tag{3}\label{eq3A}$$

A continuación, hay que tener en cuenta que como $n$ es un número entero, si $(n-2)^2 - 4$ no es un cuadrado perfecto, entonces $\sqrt{(n-2)^2 - 4}$ sería irracional, por lo que $a$ determinado a partir de \eqref {eq3A} también sería irracional y, por lo tanto, no un número entero como se requiere. Por eso se requiere que $(n-2)^2 - 4$ para ser un cuadrado perfecto.

Answer 4

$$a^2 +a\left[b(2-n)\right] + b^2 = 0$$ es una ecuación cuadrática en $a$ por lo que aplicamos la fórmula cuadrática. $$\begin{align*} a &= \frac{-\left[b(2-n)\right] \pm \sqrt{\left[b(2-n)\right]^2 - 4(1)(b^2)}}{2} \\ &= \frac{-b(2-n)}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{b^2( 4 - 4n + n^2) - 4b^2} \\ &= \frac{b}{2}(n-2) \pm \frac{1}{2}\sqrt{b^2( - 4n + n^2)} \\ &= \frac{b}{2}(n-2) \pm \frac{1}{2}|b|\sqrt{ n^2 - 4n + 4 - 4} \\ &= \frac{b}{2}(n-2) \pm \frac{1}{2}|b|\sqrt{ (n-2)^2 - 4} \\ &= \frac{b}{2} \left[ (n-2) \pm \sqrt{ (n-2)^2 - 4} \right] \text{,} \end{align*}$$ donde independientemente del signo de $b$ , $\{|b|, -|b|\} = \{b,-b\}$ (en algún orden), por lo que obtenemos la última línea.

Requerimos $a$ es un número entero, por lo que el lado derecho de esto es un número entero. Esto requiere $b[\dots]$ es un número entero par (par, para cancelar la división por $2$ en la parte delantera). Ahora $n$ es un número entero conocido, por lo que $(n-2)^2 - 4$ es un número entero. Llama a este número entero $$D = (n-2)^2 - 4 \text{.}$$

Si $D$ es un cuadrado perfecto, $D = d^2$ entonces $$\frac{b}{2} \left[ (n-2) \pm \sqrt{ D} \right] = \frac{b}{2} \left[ (n-2) \pm d \right] \text{,}$$ y, exceptuando el requisito de paridad, todo lo que está a la vista son sumas diferencias y productos de enteros, por lo que es un número entero.

Si $D$ no es un cuadrado perfecto, $\sqrt{D}$ no es un número entero; ni siquiera es un número racional. Así que $(n-2) \pm \sqrt{ D}$ es un número irracional, y multiplicando por el entero $b$ produce un número irracional. Dividiendo por $2$ deja el número irracional. Pero $a$ es racional (incluso es un número entero), por lo que esto no puede ser lo que ocurre.