Encuentra la probabilidad de que la ecuación tenga raíces reales.

Question

Consideremos la ecuación cuadrática $x^2 + Bx + C = 0$ donde $B$ y $C$ son independientes y tienen distribuciones uniformes en $[n, n]$ . Encuentra la probabilidad de que la ecuación tenga raíces reales.

Sé que $x\in\mathbb{R}$ si $B^2/4\ge C.$ Estoy buscando $P(B^2/4\ge C).$ Así que, básicamente, necesito dibujar la región $C\leq B^2/4$ y calcular el área. El área dentro del cuadrado $[-n,n]\times[-n,n]$ y por debajo la función viene dada por

$$A_N=\int_{-n}^{n}\frac{B^2}{4} \ dB + 2n^2= \frac{n^3}{6}+2n^2,$$

y el área total del cuadrado es $A_T=(2n)^2=4n^2$ así que

$$P(B^2/4 \geq C)=\frac{A_N}{A_T}=\frac{\frac{n^3}{6}+2n^2}{4n^2}=\frac{n}{24}+\frac{1}{2}.$$

La respuesta es $1/2+n/24$ para $n\le4$ y $1-2/(3\sqrt{n})$ para $n\ge 4.$

¿Por qué hay que dividirlo en casos como éste?

EDITAR:

Edito mi pregunta ya que he resuelto la primera parte de mi problema. La pregunta anterior sigue siendo.

Answer 1

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

A partir de ahora utilizaré Soporte Iverson que es un conveniente herramienta" para manejar las restricciones. A saber, $\ds{\bracks{P}}$ es igual a $\ds{\color{red}{ONE}}$ siempre que $\ds{P}$ propuesta es $\ds{\large\texttt{true}}$ y $\ds{\color{red}{ZERO}}$ de lo contrario.

\begin{align} &\bbox[10px,#ffd]{\ds{{1 \over 2n}\int_{-n}^{n}{1 \over 2n} \int_{-n}^{n}\bracks{B^{2} - 4C \geq 0}\dd B\,\dd C}} = {1 \over 2n^{2}}\int_{0}^{n} \int_{-n}^{n}\bracks{C \leq {B^{2} \over 4}}\dd C\,\dd B \\[5mm] & = {1 \over 2n^{2}}\int_{0}^{n} \int_{0}^{n}\braces{\bracks{C \leq {B^{2} \over 4}} + \bracks{-C \leq {B^{2} \over 4}}}\dd C\,\dd B \\[5mm] & = {1 \over 2n^{2}}\int_{0}^{n} \braces{\bracks{{B^{2} \over 4} < n}\int_{0}^{B^{2}/4}\dd C + \bracks{{B^{2} \over 4} \geq n}\int_{0}^{n}\dd C + n}\dd B \\[5mm] & = {1 \over 2n^{2}}\int_{0}^{n} \braces{\bracks{B < 2\root{n}}{B^{2} \over 4} + \bracks{B \geq 2\root{n}}n}\dd B + {1 \over 2} \\[5mm] & = {1 \over 8n^{2}}\int_{0}^{n}\bracks{B < 2\root{n}}B^{2}\,\dd B + {1 \over 2n}\int_{0}^{n}\bracks{B \geq 2\root{n}}\,\dd B + {1 \over 2} \\[1cm] & = {\bracks{2\root{n} \leq n} \over 8n^{2}}\int_{0}^{2\root{n}}B^{2}\,\dd B + {\bracks{2\root{n} > n} \over 8n^{2}}\int_{0}^{n}B^{2}\,\dd B \\[2mm] & + {\bracks{2\root{n} \leq n} \over 2n}\int_{2\root{n}}^{n}\,\dd B + {1 \over 2} \\[1cm] & = {\bracks{n \geq 4} \over 3\root{n}} + \bracks{n < 4}\,{n \over 24} + \bracks{n \geq 4}\,{n - 2\root{n} \over 2n} + {1 \over 2} \\[5mm] & = {1 \over 2} + \bracks{n < 4}{n \over 24} + \bracks{n \geq 4}\pars{{1 \over 2} - {2 \over 3\root{n}}} \\[5mm] & = \bbx{\bracks{n < 4}\pars{{1 \over 2} + {n \over 24}} + \bracks{n \geq 4}\pars{1 - {2 \over 3\root{n}}}} \end{align}