Quiero comparar los coeficientes de las dos regresiones lineales:
$$ \begin{array}{c} y_{ij} &=& \beta_0 + \beta_1 X_{j} + u_{ij} \\ y_{j} &=& \alpha_0 + \alpha_1 X_{j} + u_{j} \\ y_{j} &=& \frac{1}{N_j} \sum_{i=1} ^ {N_j} y_{ij} \end{array} $$
de modo que la segunda ecuación sólo difiere al utilizar la media del grupo $j$ en lugar de observaciones individuales $y_{ij}$ como variable dependiente. ¿Existe una manera fácil de demostrar que $\hat{\beta}_1 = \hat{\alpha}_1$ donde hat denota la estimación OLS?
