Determinación de una matriz de probabilidad de transición

Question

Si tengo eso $X_n$ es una cadena de Markov de dos estados cuya matriz de probabilidad de transición es:

$P = \left( \begin{smallmatrix} \alpha & 1-\alpha\\ 1-\beta & \beta \\\end{smallmatrix} \right)$

Entonces $Z_n=(X_{n-1},X_n)$ es una cadena de Markov que tiene los cuatro estados (0,0), (0,1), (1,0) y (1,1). ¿Cómo puedo determinar la matriz de probabilidad de transición? Agradezco toda la ayuda y las sugerencias.

Answer 1

Las transiciones posibles son aquellas para las que $Z_{n,2} = Z_{n+1, 1}$ , es decir $$ (0,0) \to (0, 0)\\ (0,0) \to (0, 1)\\ (1,0) \to (0, 0)\\ (1,0) \to (0, 1)\\ (0,1) \to (1, 0)\\ (0,1) \to (1, 1)\\ (1,1) \to (1, 0)\\ (1,1) \to (1, 1) $$

y por ejemplo la transición $(0,1)\to (1,1)$ tiene probabilidad $$ P(X_{n+1} = 1, X_{n} = 1 | X_{n} = 1, X_{n-1} = 0) = P(X_{n+1} = 1, X_{n} = 1 | X_{n} = 1) $$ debido a la propiedad de Markov, $$ = P(X_{n+1} = 1| X_{n} = 1) = \beta $$