Órdenes algebraicas de suma y producto

Question

Supongamos que $f(z)$ y $g(z)$ tienen órdenes algebraicos $n$ y $m$ en $z=0$ respectivamente. Estimar los órdenes algebraicos del producto $f(z)g(z)$ y la suma $f(z)+g(z)$ y dar ejemplos para mostrar que los límites son agudos.

Las órdenes algebraicas significan que $f(z)=z^nf_1(z)$ y $g(z)=z^mg_1(z)$ para todos $0<|z|<R$ , donde $f_1(z)$ y $g_1(z)$ son distintos de cero y holomorfos en $|z|<R$ .

Creo que el orden del producto debería ser $n+m$ ya que $f(z)g(z)=z^{n+m}f_1(z)g_1(z)$ y $f_1(z)g_1(z)$ es distinto de cero y holomorfo en $|z|<R$ .

Para la suma, supongamos sin pérdida de generalidad que $n\geq m$ . Entonces $f(z)+g(z)=z^m(z^{n-m}f_1(z)+g_1(z))$ . Así que el orden algebraico es al menos $m$ . Si $n>m$ entonces $$z^{n-m}f_1(z)+g_1(z)\neq 0$$ por lo que el orden es exactamente $n$ . Ahora bien, si $n=m$ entonces $f(z)+g(z)=z^n(f_1(z)+g_1(z))$ . ¿Qué podemos decir sobre el orden de $f_1(z)+g_1(z)$ ?

Answer 1

Como ha demostrado, el orden de $f(z)g(z)$ en $z=0$ es la suma de los órdenes de $f(z)$ y $g(z)$ .

En cuanto al producto, lo siguiente es cierto: $\operatorname{ord}_{z=0} f(z)g(z) \geq \operatorname{min}\{\operatorname{ord}_{z=0} f(z), \operatorname{ord}_{z=0} g(z)\}$ .

La prueba la has escrito tú mismo. Si $f(z) = z^n f'(z)$ y $g(z) = z^n g'(z)$ entonces $f(z)+g(z) = x^n (f'(z)+g'(z))$ lo que significa que si ambos órdenes son al menos $n$ entonces la suma es al menos $n$ . Es decir, el orden de la suma debe ser al menos el mínimo de los dos órdenes.

Cuando los pedidos no son iguales, podemos decir un poco más. Si $n>m$ , $f(z) = z^n f'(z)$ y $g(z) = z^m g'(z)$ , donde $f'(0)\neq 0$ y $g'(0) \neq 0$ entonces $f(z)+g(z) = x^m (f'(z) + x^{n-m}g'(z))$ . Podemos comprobar que el polinomio interior es distinto de cero en $z=0$ Así que $\operatorname{ord}_{z=0} f(z)g(z) = \operatorname{min}\{\operatorname{ord}_{z=0} f(z), \operatorname{ord}_{z=0} g(z)\}$ en este caso.

Otra forma de decirlo es decir que, de los tres números $\operatorname{ord}_{z=0} f(z), \operatorname{ord}_{z=0} g(z), \operatorname{ord}_{z=0} fg(z)$ , debe ser que el número más pequeño aparezca dos veces (por supuesto, los tres pueden ser iguales).

Esto debería responder completamente a la pregunta, pero, ya que hay una recompensa, aquí hay un poco de antecedentes. Todo lo anterior está diciendo que el anillo de funciones "cerca de $0$ " es un anillo de valoración discreta . Una "valoración", en este contexto, es algo que satisface las ecuaciones $\nu(ab)=\nu(a)\nu(b)$ y $\nu(a+b) \geq \operatorname{min}\{\nu(a),\nu(b)\}$ . $\nu(0)$ recibe el valor especial $+\infty$ para que todo funcione.

Curiosamente, se puede utilizar una valoración para convertir el conjunto de funciones analíticas complejas en un interesante espacio (pseudo)métrico: $|f| = e^{-\operatorname{ord}_{z=0} f(z)}$ . Esto es, de hecho, un espacio ultramétrico satisfaciendo la desigualdad del triángulo fuerte: $|f+g| \leq \operatorname{max}\{|f|,|g|\}$ lo que significa que todo triángulo es isóceles.

(Sí, estoy trabajando con normas, no con métricas, así que demándame).