$\forall n\in \mathbb N$ , $\exists$ a $b(n)$ s.t. $x^n < b(n)\exp(\frac{x^2}{3})$ , para $x > 0$

Question

$\forall$ Quiero demostrar que para cualquier $n\in \mathbb N$ existe un $b(n) \in \mathbb R$ tal que $x^n < b(n)\exp(\frac{x^2}{3})$ , para $x > 0$ .

Para encontrar esto $b(n)$ Supongo que este $b(n)$ existe, entonces tendríamos $$\ln \frac{x^n}{b(n)} \le \frac{1}{3}x^2.$$

Dejemos que $f(x) = \frac{1}{3}x^2 - \ln \frac{x^n}{b(n)}.$ Entonces, $f'(x) = \frac{2}{3}x - \frac{n}{x} = 0 \implies x = \sqrt{3n/2}$ .

$f$ es decreciente en $(0,\sqrt{3n/2})$ y está aumentando en $(\sqrt{3n/2}, +\infty)$ y $f(\sqrt{3n/2}) >0$ .

$b(n)$ se anula cuando calculamos $f'(x)$ Así que parece que no importa cuál es su valor, pero en realidad sí importa.

¿Qué hay de malo en esta verificación? ¿Cómo demostramos la existencia de la $b(n)$ ?

Answer 1

Basándose en lo que tiene, es suficiente para encontrar un valor para $b(n)$ tal que $ f( \sqrt{3n/2}) > 0$ .
Esto implica que $b(n) > \sqrt{3n/2}^n / e^{(n/2)}$ funcionará.