Confusión en el mapeo conformado

Question

Si tenemos alguna región $\mathbb{C}-[-1,1]$ en el plano complejo, definir un mapa $R(z) =\frac{1}{z}$ que toma la región $\mathbb{C}-[-1,1] \rightarrow \mathbb{C}-(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ denotado por $\Omega$ . Para alguna función $\frac{z+1}{z-1}$ en $\mathbb{C}-[-1,1]$ la nueva función en la región $\Omega$ viene dada por $\frac{1/z+1}{1/z-1}$ . ¿Por qué es así? ¿No debería ser sólo $\frac{1}{\bigg(\frac{z+1}{z-1}\bigg)}$ ??

Answer 1

Si $z \in \mathbb C - (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$ primero se mapea a un punto de $\mathbb C - [-1,1]$ utilizando la inversa de $\frac 1 z$ (que es $\frac 1 z$ ) y luego aplicar la función dada en $\mathbb C - [-1,1]$ . Así que lo que obtienes $\frac {(\frac 1 z )+1} {(\frac 1 z )-1}$ .