Esta es una petición de una relación en la teoría cuántica de campos entre el potencial electromagnético y el campo electromagnético cuando se presentan en la prueba de la forma de la función. $U(1)$ invarianza de norma se convierte en una simple restricción de las funciones de prueba para untado potencial electromagnético a los operadores a ser invariante gauge observables. Esto es una simple restricción que creo que debe estar por ahí, pero yo nunca he visto esto en los libros de texto o en la literatura, presumiblemente debido a que en su mayoría no funcionan con la función de prueba de espacios en QFT; en su lugar usamos el operador de valores de las distribuciones de forma directa, en donde, sin embargo, medir la fijación es un perpetuo molestia.
Para el potencial electromagnético operador de valores de la distribución manchado por una función de prueba de $f^\rho(x)$ en el espacio de Minkowski, $\hat A_f=\int_M \hat A_\rho(x)f^{\rho*}(x)\mathrm{d}^4x$, para ser un observable que es invariante bajo $U(1)$ medidor de transformaciones $\hat A_\rho(x)\rightarrow\hat A_\rho(x)-\partial_\rho\alpha(x)$, se requiere que $\int_M \partial_\rho\alpha(x)f^{\rho*}(x)\mathrm{d}^4x$ debe ser cero para todas las funciones escalares $\alpha(x)$.
La integración por partes a través de una región de $\Omega$ en el espacio de Minkowski, se obtiene, en términos de formas diferenciales, $$\int_\Omega d\alpha\wedge(\star f^*)=\int_{\partial\Omega}\alpha\wedge(\star f^*)-\int_\Omega \alpha\wedge(d\!\star\! f^*),$$ que será de cero por lo suficientemente grande como $\Omega$, y por tanto, para el conjunto del espacio de Minkowski, para cualquier liso función de la prueba de $f^\rho(x)$ que tiene tamaño compacto y es la divergencia libre, $d\!\star\! f=0$. [Si queremos restringir el medidor de transformación de la función $\alpha(x)$ no aumentar más rápido que exponencialmente con el aumento de la distancia en cualquier dirección, será suficiente para que la función de la prueba de $f^\rho(x)$ a ser Schwartz y divergencia.]
Así que hemos probado:
Teorema: La unta potencial electromagnético $\hat A_f$ $U(1)$ invariante gauge observable si la función de prueba de $f^\rho(x)$ es suave, de tamaño compacto, y la divergencia.
La divergencia de la condición libre en $f^\rho(x)$ asegura que el conmutador para la creación y aniquilación de los operadores asociados con el potencial electromagnético $\hat A_f=\mathbf{\scriptstyle a}^{\,}_{f^*}+\mathbf{\scriptstyle a}^{\dagger}_f$ , $$[\mathbf{\scriptstyle a}^{\,}_f,\mathbf{\scriptstyle a}^\dagger_g]=-\hbar\int \tilde f^*_\rho(k)\tilde g^\rho(k)2\pi\delta(k_\nu k^\nu)\theta(k_0)\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4},$$ es positivo semi-definitiva (que es necesario para que podamos ser capaces de construir un vacío sector espacio de Hilbert), y que debido a $\delta f=\delta g=0$ podemos construir, en el espacio de Minkowski, $f=\delta F$, $g=\delta G$, donde $F$ $G$ son bivector potenciales para el potencial electromagnético funciones de prueba de $f$$g$.
En términos de$F$$G$, podemos escribir $a^{\,}_F=\mathbf{\scriptstyle a}^{\,}_{\delta F}$ , $a_G^\dagger=\mathbf{\scriptstyle a}^\dagger_{\delta G}$ , que cumplan las electromagnética campocolector $$[a^{\,}_F,a_G^\dagger]=-\hbar\int k^\alpha\tilde F_{\alpha\mu}^*(k) k^\beta\tilde G_\beta{}^\mu(k)2\pi\delta(k_\nu k^\nu)\theta(k_0)\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4}.$$ En consecuencia, girando en torno a la relación usual, porque estamos trabajando con las funciones de prueba en lugar de directamente con los campos cuánticos, podemos considerar las funciones de prueba para el campo electromagnético como potenciales para las funciones de prueba para el potencial electromagnético.
Debido a la restricción de que el potencial electromagnético funciones de prueba debe tener compacto de apoyo (o de medición de transformaciones debe ser limitada, si electromagnética potencial de las funciones de prueba son Schwartz), potencial electromagnético observables son menos general que el campo electromagnético observables si el campo electromagnético de las funciones de prueba son Schwartz (como comúnmente se supone), o su equivalente si el campo electromagnético de las funciones de prueba son lisas y tienen soporte compacto.
Así, las referencias?
EDITAR (24 de octubre de 2011): se toma nota de la Respuesta de user388027, y mi comentario, un decente referencia de lo que las restricciones son convencionalmente impuestas en el indicador de las transformaciones sería bienvenido. En particular, quisiera esperanza para una justificación de las restricciones desde cualquier punto de vista teórico, es tomada por la referencia.
