¿Es posible probar directamente de la definición de semiplicidad esto: si R es un anillo semisimple, entonces R tiene unidad?
Respuesta
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rschwieb
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La razón por la que se habla poco (¿nunca?) de los anillos semisimples (artinianos, asociativos) es que los teoremas de clasificación se rompen. Ciertamente, el teorema de Artin-Wedderburn sólo trata de anillos semisimples con identidad.
La respuesta a tu pregunta depende de lo que llames "semisimple".
Por ejemplo, si estás pensando en "todos los ideales correctos son sumandos" entonces ya $2\Bbb Z/4\Bbb Z$ es un anillo sin identidad. También es artiniano y simple, pero no tiene el cero radical.
Si se piensa en semisimple como "producto finito de anillos simples", hay una clase de ejemplos: muchas álgebras de Lie semisimples que no tienen identidad.
