Hay 6 candidatos. Si dos se niegan a colocarse uno al lado del otro, ¿pueden disponerse de 480 maneras?

Question

Verdadero o falso.

Seis candidatos a la alcaldía participarán en un debate. Los candidatos se alinean en el escenario detrás de los podios de cara al público. Si dos de los candidatos se niegan a colocarse uno al lado del otro, los candidatos pueden disponerse de 480 maneras diferentes.

Normalmente, lo abordaría simplemente haciendo ¡6! lo que me da 720, demostrando así que la afirmación es falsa. La parte que me desconcierta es si dos candidatos no están situados uno al lado del otro. ¿Cómo puedo incluir esa variable en mi fórmula?

Answer 1

Dejemos que $a$ y $b$ son los candidatos que no desean ser colocados al lado de los demás.

Es cierto que $6!$ es el número de formas de organizar el $6$ candidatos en una línea, pero esto también incluye los arreglos en los que los dos candidatos antipáticos se colocan uno al lado del otro. Por lo tanto, hay que restarle el número de formas de disposición de los candidatos para que $a$ y $b$ están uno al lado del otro.

Podemos contar este número que debemos restar de la siguiente manera:

Primero organizamos todos los candidatos excepto $b$ en una línea. Esto puede hacerse en $5!$ maneras. Ahora añadimos $b$ a la línea. Como ahora queremos contar los arreglos donde $b$ se coloca al lado de $a$ Hay dos posibilidades para la posición de $b$ . (A la izquierda de $a$ o derecho de $a$ )

Por lo tanto, hay $2\cdot 5!$ formas de organizar a los candidatos para que $a$ y $b$ son junto a la otra, y por lo tanto $6! - 2\cdot 5! = 4\cdot 5! = 480$ formas de organizar a los candidatos para que $a$ y $b$ son no al lado del otro.

Answer 2

Es cierto. Que esas dos personas sean $A$ y $B$ . Hay totalmente $6!$ formas de permutar a las personas, incluyendo los casos que $A$ y $B$ están de pie uno al lado del otro. Para calcular el número de casos $A$ y $B$ están juntos, considéralos como un todo, es decir, considéralos como una sola persona ya que están juntos. Entonces habrá $2 \cdot 5! = 240$ casos. $2$ aquí es para indicar los casos $A$ se encuentra a la izquierda de $B$ y $A$ se encuentra a la derecha de $B$ .

Por último, tenemos $6! - 240 = 480$ .