Inversa impar de una función característica

Question

Hoy he visto esta fórmula:

$$ \mathbb{P} \left[ X > K \right] = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \int_0^\infty Re\left( \frac{e^{-iuK}\varphi(u)}{iu} \right) du $$

Donde $\varphi(u)$ es la función característica de la variable aleatoria $X\in L^1$ . Definitivamente debo estar perdiéndome algo ya que sólo puedo llegar a:

$$ \mathbb{P} \left[ X > K \right] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-iuK}\varphi(u)}{iu} du $$

¿Alguno de ustedes sabe cómo mostrar esto? Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Sólo consideraré el caso cuando $X$ tiene un pdf.

En primer lugar, permítanme definir la transformada de Fourier de una función $f(x)$ para ser:

$$ \hat{f}(w) = \int_{\mathbb{R}} f(x)e^{-iwx}dx $$

Obsérvese que tenemos la identidad:

$$ \langle f, g \rangle = \frac{1}{2\pi}\langle \hat{f}, \hat{g} \rangle $$ Esta es una versión de la identidad de Parseval que asume $f,g \in L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R})$ (al menos en la versión que conozco).

Bien, ahora supongamos que $X$ tiene alguna función de densidad $p(x)$ . Estamos viendo: \begin{align*} \int_K^{\infty} p(x) dx &= \int_{\mathbb{R}} \chi_{[K,\infty)}(x) p(x) dx \\ &= \int_{\mathbb{R}} \chi_{[0,\infty)}(x-K) p(x) dx \end{align*} Donde $\chi$ es la función indicadora habitual para que $\chi_{[0,\infty)}$ es la función escalonada de Heaviside. Usando la identidad anterior, tenemos: \begin{align*} \int_{\mathbb{R}} \chi_{[K,\infty)}(x) p(x) dx &= \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} \left( \frac{1}{iw} + \frac{1}{\pi}\delta(w) \right) e^{-iKw} \hat{p}(w) dw \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} \frac{e^{-iKw} \hat{p}(w)}{iw} dw \end{align*} Nótese que la transformada de Fourier del paso es una distribución ( ver aquí por ejemplo), y $\chi$ ciertamente no está en $L^1$ o $L^2$ . Así que esto no es tan hermético como podría ser en este momento.

Por último, consideremos el segundo término:

\begin{align*} \int_{\mathbb{R}} \frac{e^{-iKw} \hat{p}(w)}{iw} dw &= \int_0^{\infty} \frac{e^{iKw}\hat{p}(-w)}{-iw} + \frac{e^{-iKw}\hat{p}(w)}{iw} dw \\ &= 2\int_0^{\infty} Re\left( \frac{e^{-iKw}\hat{p}(w)}{iw} \right) dw \end{align*}

Desde $\hat{p}(-w) = \hat{p}(w)^*$ el complejo conjugado de $\hat{p}(w)$ .