Estructuras constantes en un subconjunto abierto

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico y $U\subset X$ un subconjunto abierto. Trabajemos en la categoría de gavillas de grupos abelianos sobre $X$ . Consideremos la gavilla constante sobre $U$ , $\mathbb{Z}_U$ dado por $\mathbb{Z}_U(V)=\{\text{continuous maps }U\cap V\rightarrow \mathbb Z\}$ , donde $\mathbb Z$ está dada la topología discreta. He estado luchando para derivar del lema de Yoneda la fórmula $\hom(\mathbb{Z}_U,F)=F(U)$ . ¿Es una consecuencia de Yoneda? Si es así, ¿cómo? Si no se deduce de Yoneda, ¿es cierto en absoluto? Si no es así, ¿cómo se puede calcular $\hom(\mathbb{Z}_U,\mathbb{Z}_V)?$

Answer 1

Esto no es cierto; por ejemplo, tomemos $X = \mathbb R^2$ , $U = \mathbb R^2 \smallsetminus \{(0,0)\}$ . Entonces su $\mathbb Z_U$ coincide con $\mathbb Z_X$ y $Hom(\mathbb Z_U, F)$ es $F(X)$ no $F(U)$ .

Para que la fórmula se mantenga hay que tomar como $\mathbb Z_U$ la extensión de la gavilla constante por $0$ que es un animal muy diferente.

Answer 2

Véase [Tamme, Introduction to étale cohomology], p. 31, Observación (2.1.3).

Answer 3

Pierre Schapira tiene algunos muy bonito, y más notas elementales que podría ayudarte.