Demostrando que $L-\{x\}$ no está conectado.

Question

Problema: Sea L un conjunto linealmente ordenado y déle la topología de orden. Supongamos que $x$ es un elemento de L que no es maximal ni mínimo. Demostrar que $L-\{x\}$ no está conectado.

Así que tengo que demostrar que existe alguna separación de $L-\{x\}$ . Pero no es $(-\infty,x)\cup (x,\infty)=$$ L-{x\} $ or in the case where L has a largest and or smallest element $ a_0 $ and $ b_0 $ respectively, the separation would be $ (a_0,x)\N-cup (x,b_0)= $$L-\{x\}$ . Estos conjuntos son abiertos en la topología de orden, y los rayos abiertos también lo son, por lo tanto es una separación ¿no?

Answer 1

Es casi correcto. Para ser casi pedante:

$L \setminus \{x\} = L_x \cup R_x$ , donde $L_x = \{y \in L: y < x\}$ y $R_x = \{y \in L: y > x\}$ . Estos conjuntos son abiertos subbásicos (rayos abiertos) en la topología de orden, por lo que los conjuntos abiertos de $L$ en la topología del orden.

Y si $z \in L\setminus\{x\}$ entonces $z > x$ o $z < x$ según los axiomas de un orden lineal. Esto demuestra la unión.

Los conjuntos también son disjuntos: de lo contrario tendríamos $p < x < p$ cuando $p\in L_x \cap R_x$ que no puede ser.

Ambos son no vacíos como $x$ no es un elemento mínimo: hay al menos un $p < x$ < así $L_x \neq \emptyset$ y como no es máxima, al menos una $q > x$ Así que $q \in R_x \neq \emptyset$ . De ahí que sea una separación.