Observables comunes y operadores asociados: operador momento

Question

Partiendo de mi pregunta anterior Conmutadores en la mecánica cuántica y considerando que el conmutador

$$\left[i\hbar\frac{\partial}{\partial x},x\right]=i\hbar, \tag{1}$$ el momento del operador lineal asociado (por ejemplo, el momento $p_x$ de la $x$ -eje) es:

$$p_x\longrightarrow -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} \tag{2}$$ La asociación de $p_x$ con $-i\hbar\partial/\partial x$ ¿es un postulado o existe una prueba de que $$\left[i\hbar\frac{\partial}{\partial x},x\right]=i\hbar\color{red}{\boldsymbol{\equiv}[p_x,x]\,\,?} \tag{3}$$

Answer 1

El relación de conmutación canónica

$$[\hat x, \hat{p}_x]=i\hbar$$

puede considerarse un postulado de la mecánica cuántica. En la representación de posición, donde las funciones de onda son funciones de posición, y el operador de posición es sólo la multiplicación por $x$ el operador de momento puede elegirse entonces como

$$\hat{p}_x=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$$

para satisfacer la relación de conmutación.

Una forma más física de pensar en esta elección para el operador de momento es considerar una onda plana, $e^{i(k_xx-\omega t)}$ . Operando sobre esto con un operador de momento se debería obtener el valor egen de momento $\hbar k_x$ y lo hace con esa elección para $\hat{p}_x$ .