Pregunta 0: El mapa $$ \delta_i : D^{i}(\mathcal F) \to D^{i+1}(\mathcal F)$$ en la resolución se define como la composición del mapa suryectivo $D^{i}(\mathcal F) \to C^{i+1}(\mathcal F)$ con el mapa inyectivo $C^{i+1}(\mathcal F) \to D^{i+1}(\mathcal F)$ .
Es un ejercicio estándar en la búsqueda de diagramas para verificar que la resolución $$ 0 \to \mathcal F \to D^0(\mathcal F) \to D^1(\mathcal F) \to \dots$$ construido de esta manera es realmente exacto.
Pregunta 1: $C^{i+1}(\mathcal F)$ se define como $D^{i}(\mathcal F)/ C^i(\mathcal F)$ .
En realidad, esto está implícito en la breve secuencia exacta $$0 \to C^{i}(\mathcal{F}) \to D^i(\mathcal{F}) \to C^{i+1}(\mathcal{F})\to 0 ,$$ que te dice que $C^{i+1}(\mathcal {F})$ es el cokernel del mapa inyectivo $C^{i}(\mathcal{F}) \to D^i(\mathcal{F})$ la única manera de que esto sea posible es si $C^{i+1}(\mathcal F)$ es isomorfo al cociente $D^{i}(\mathcal F)/ C^i(\mathcal F)$ .
Pregunta 2: Sí, un complejo es una cadena de objetos de una categoría abeliana con flechas $d_i$ tal que $d_{i+1} \circ d_i = 0$ . Desde $$ D^0(\mathcal F) \to D^1(\mathcal F) \to D^2(\mathcal F) \to \dots$$ es una sucesión exacta de láminas, y como la función de secciones globales $\Gamma(X,-)$ es exacta a la izquierda, es un ejercicio estándar para verificar que $$\Gamma(X, D^0(\mathcal F)) \to \Gamma(X, D^1(\mathcal F)) \to \Gamma(X, D^2(\mathcal F)) \to \dots$$ es un complejo.
Pregunta 3a: Kempf sólo afirma que el $D^{i}(\mathcal F)$ 's son flácidos. Esto se desprende de la definición de $D^i(F)$ como la gavilla de secciones discontinuas de $\mathcal F$ que dice que para cualquier $U \subset X$ el grupo de secciones $D^i(\mathcal F)(U)$ es el conjunto de mapas $$D^i(\mathcal F)(U) = \left\{ s : U \to \prod_{p \in U} \mathcal F_p {\rm \ such \ that \ } s(p) \in \mathcal F_p {\rm \ for \ all \ } p \in U \right\}.$$ Para comprobar que $D^i(\mathcal F)$ es flácida, es necesario comprobar que para cualquier abierta $V \subset U$ el mapa de restricción $D^i(\mathcal F)(U) \to D^i(\mathcal F)(V)$ es sobreyectiva. No es muy difícil ver que esto es cierto.
Pregunta 3b: El hecho de que la construcción sea funtorial significa que si se tiene un morfismo de gavillas de grupos abelianos $\phi : \mathcal F \to \mathcal G$ , entonces puede encontrar mapas $$\phi_i : D^i(\mathcal F) \to D^i(\mathcal G)$$ tal que $$\delta^{\mathcal G}_i \circ \phi_i = \phi_{i + 1} \circ \delta^{\mathcal F}_i,$$ donde $\delta_i^{\mathcal F} : D^{i}(\mathcal F) \to D^{i+1}(\mathcal F)$ y $\delta_i^{\mathcal G} : D^{i}(\mathcal G) \to D^{i+1}(\mathcal G)$ son los mapas en las resoluciones de $\mathcal F$ y $\mathcal G$ .
Pregunta 4: El functor de secciones globales $\Gamma(X, - )$ es exacta a la izquierda. Por lo tanto, si se aplica $\Gamma(X, - )$ a la secuencia exacta $ 0 \to \mathcal F \to D^0(\mathcal F) \to D^1(\mathcal F) $ , se ve que $$ 0 \to \Gamma(X, \mathcal F) \to \Gamma(X, D^0(\mathcal F)) \to \Gamma(X, D^1(\mathcal F))$$ es exacta, por lo que $$ \Gamma(X, \mathcal F) \cong {\rm ker}\left(\Gamma(X, D^0(\mathcal F)) \to \Gamma(X, D^1(\mathcal F))\right) := H^0(X, \mathcal F)$$
Detalles adicionales:
(a) Para ver que la resolución de la pregunta 0 es exacta, elige un punto arbitrario $p \in X$ y considerar los mapas de los tallos. En primer lugar, observe que $${\rm im}(D^i(\mathcal F)_p \to D^{i+1}(\mathcal F)_p) = {\rm im}(C^{i+1}(\mathcal F)_p \to D^{i+1}(F)_p)$$ desde $D^i(\mathcal F)_p \to C^{i+1}(\mathcal F)_p$ es suryente.
También, $${\rm ker}(D^{i+1}(\mathcal F)_p \to D^{i+2}(\mathcal F)_p) = {\rm ker}(D^{i+1}(\mathcal F)_p \to C^{i+2}(F)_p)$$ desde $C^{i+2}(\mathcal F)_p \to D^{i+2}(F)_p$ es inyectiva.
De ello se desprende que $${\rm im}( D^i(\mathcal F)_p \to D^{i+1}(\mathcal F)_p) = {\rm ker}(D^{i+1}(\mathcal F)_p \to D^{i+2}(\mathcal F)_p)$$ desde ${\rm im}(C^{i+1}(\mathcal F)_p \to D^{i+1}(\mathcal F)_p)= {\rm ker}(D^{i+1}(\mathcal F)_p \to C^{i+2}(\mathcal F)_p)$ . Dado que el punto $p \in X$ era arbitraria, esto demuestra que la resolución es exacta.
(b) Para ver que se obtiene un complejo en la pregunta 2, utilice la exactitud de la izquierda de $\Gamma(X, - )$ para obtener secuencias exactas $$ 0 \to \Gamma(X, C^{i}(\mathcal F)) \to \Gamma(X, D^{i}(\mathcal F)) \to \Gamma(X, C^{i+1}(\mathcal F))$$
[Tenga en cuenta que el mapa final $\Gamma(X, D^{i}(\mathcal F)) \to \Gamma(X, C^{i+1}(\mathcal F))$ es no surjective!]
Entonces aplique un razonamiento similar al de la pregunta 0 para ver que $ {\rm im}(\Gamma(X, D^{i}(\mathcal F)) \to \Gamma(X, D^{i+1}(\mathcal F)))$ es un subgrupo de ${\rm ker}(\Gamma(X, D^{i+1}(\mathcal F)) \to \Gamma(X, D^{i+2}(\mathcal F)))$ .
[Aquí, $ {\rm im}(\Gamma(X, D^{i}(\mathcal F)) \to\Gamma(X, D^{i+1}(\mathcal F)))$ no es necesariamente igual a ${\rm ker}(\Gamma(X, D^{i+1}(\mathcal F)) \to \Gamma(X, D^{i+2}(\mathcal F)))$ porque el mapa $\Gamma(X, D^{i}(\mathcal F)) \to \Gamma(X, C^{i+1}(\mathcal F))$ no es subjetivo. Si fueran iguales, habríamos obtenido una secuencia exacta en lugar de un complejo].
