¿Alguna "métrica" que lleve a un Ket a un sujetador?

Question

Debido a las evidentes similitudes entre "los vectores y las formas únicas de la geometría de Riemann" y "los kets y los sujetadores del álgebra lineal", tengo curiosidad por saber si existe un objeto análogo a la métrica de la geometría de Riemann (el objeto que mapea un vector a su correspondiente forma única) en el álgebra lineal, un objeto que mapearía un ket a su correspondiente sujetador.

Tengo entendido que existe un método bien definido para producir un sujetador correspondiente a un ket, a saber, tomar el adjunto de la matriz de columnas que representa el ket dado en una base particular. Así que parece que no hay una necesidad natural de invocar algo similar a la métrica de la geometría de Riemann, pero si pudiéramos formular algo así, entonces, matemáticamente hablando, podríamos formular algunas otras formas de asociar un sujetador con un ket dado - al igual que podemos cambiar la métrica de la métrica Minkowskiana a alguna métrica diferente y la forma única asociada a un vector dado cambia. No estoy seguro de la ventaja de tal cosa, pero tengo curiosidad por saber si existe algún formalismo para hacer algo así.

Answer 1

Los vectores y las formas 1 no son objetos de la geometría de Rieman, sino de la geometría diferencial general. La tangente y el haz cotangente se definen como duales uno del otro, de modo que en cada punto de la variedad, la fibra del haz cotangente es el espacio dual de la fibra del haz tangente (es decir, el espacio cotangente en un punto es el dual del espacio tangente). La métrica de la geometría (pseudo)riemanniana proporciona una canónico manera de moverse entre estos espacios, pero en el caso de las dimensiones finitas de los colectores, un espacio vectorial y su espacio dual son siempre isomorfos. La métrica sólo proporciona una opción canónica de dicho isomorfismo.

Los "bras" y los "kets" suelen vivir en espacios de Hilbert de dimensión infinita, en los que la noción de "dual" se vuelve un poco más sutil y, en particular, habría que distinguir el dual algebraico (todos los funcionales lineales) y el dual continuo (todos los funcionales lineales continuos) de un espacio vectorial topológico de dimensión infinita. A menudo, los sujetadores y los kets sólo viven en un determinado subespacio del espacio de Hilbert completo y de su dual continuo, lo que conduce a la noción de espacio de Hilbert amañado .

En cualquier caso, para un espacio de Hilbert $H$ viene equipado con una "métrica", a saber, su producto interno, y por la Teorema de la representación de Riesz el mapa $$ H\to H^\ast, \lvert \psi\rangle \mapsto (\lvert \phi \rangle \mapsto \langle \psi\vert \phi\rangle)$$ es un isomorfismo de $H$ y su dual continuo $H^\ast$ .

Al final, la pregunta está planteada al revés: para los espacios vectoriales con un producto interior, esta noción de mapa entre el espacio vectorial y su dual es natural. La geometría (pseudo)riemanniana sólo aplica esta construcción algebraica puramente lineal en cada punto del haz (co)tangente a las fibras. Por supuesto, hay otras opciones no canónicas de tales mapas entre el espacio vectorial y su dual que también podrían expresarse como el mapa natural para un producto interno diferente, pero no hay un uso evidente para ello.

Answer 2

Un espacio de Hilbert está dotado de un producto interno $(\ \cdot\ ,\ \cdot\ ) : H\otimes H \to \mathbb C$ . Se puede utilizar para definir un mapeo de $H$ a su dual topológico $H^*$ (emparejamiento doble) con la asignación

$$\phi\mapsto (\phi,\ \cdot\ ),\qquad\phi\in H,$$

donde $(\phi,\ \cdot\ )$ denota la función lineal continua $$\psi\mapsto(\phi,\psi),\qquad\forall\psi\in H.$$

Answer 3

En primer lugar, un rápido repaso: en general, una métrica es simplemente un tensor que toma dos vectores y devuelve un número, por lo que la "métrica" en la mecánica cuántica es simplemente el producto interior, escrito como $\langle \psi | \phi \rangle$ . Entonces, al igual que en la relatividad, el vector dual (bra) correspondiente a un vector (ket) $| \psi \rangle$ se define como la función que mapea $|\phi \rangle$ a $\langle \psi | \phi \rangle$ que, por comodidad, escribimos simplemente como $\langle \psi |$ . En ambos casos se requiere un producto métrico/interior para definir este mapa.

Ahora, ¿cómo podrías cambiar el producto interno? Una posibilidad es que puedas construir tu teoría a partir de un producto diferente desde el principio. Al ortonormalizar una base arbitraria, generalmente se obtienen vectores base ortogonales con longitudes $+1$ , $0$ y $-1$ . Los dos últimos son problemáticos porque corresponden a probabilidades cero y negativas, por lo que no podemos considerarlos como estados físicos. (De hecho, en la QFT a menudo tenemos que eliminar manualmente estos estados, por ejemplo aquí .) Para obtener estados físicos válidos siempre terminamos con todas las longitudes $+1$ que es exactamente igual al producto interno por defecto, por lo que no obtenemos nada nuevo.

(La métrica en relatividad general es más compleja que esto porque depende de la posición, y no se puede hacer esta ortogonalización en cada punto. En los casos en que se puede, se obtiene $\text{diag}(1, -1, -1, -1)$ es decir, la métrica de la relatividad especial).

Otra cosa que puedes hacer es una transformación pasiva, que en realidad es sólo un cambio de base. Por ejemplo, podrías reemplazar algún vector base normalizado $|0 \rangle$ con $|0 \rangle / 2$ para que el producto interno tenga un aspecto diferente cuando se escribe en componentes. Esto es útil en la relatividad porque diferentes sistemas de coordenadas corresponden a diferentes observadores. Pero es inútil en la mecánica cuántica porque allí el producto interior da probabilidades, en las que todo el mundo está de acuerdo. Si pienso $|0 \rangle$ se normaliza, también lo harán los demás.

Por último, podríamos considerar una transformación de simetría activa. Tenemos que preservar las probabilidades, y Teorema de Wigner afirma que la posibilidad más general es un operador unitario o antiunitario. Sin embargo, esto se suele considerar como una transformación del espacio de Hilbert. Aunque supongo que se podría pensar en ello como una transformación del producto interno, no creo que eso aporte nada nuevo.

tl;dr: cambiar la "métrica" en la mecánica cuántica no es útil porque todos los observadores están de acuerdo con las probabilidades.

Answer 4

Digresión sobre los 2-espinores

Así que esto es algo que hacemos mucho en la notación de 2 espinores donde convertimos un vector de 4 en una matriz compleja hermitiana de 2x2 uniendo $\sigma_0 = I$ a las matrices de Pauli habituales $\sigma_{1,2,3}$ y formando $$V = \sum_i v^i~\sigma_i$$ en alguna base. Las razones para hacerlo son bastante complicadas, pero permítanme resumirlas. Uno ve rápidamente que $\det V = v_\mu~v^\mu$ significa que las transformaciones de Lorentz propias toman la forma $V\mapsto L V L^\dagger$ donde $\det L = 1,$ para que esta representación realice directamente la conexión entre las transformadas especiales de Lorentz y $\text{SL}(2, \mathbb C).$ Los vectores nulos, en particular, tienen un estatus especial como proyecciones; $\det V = 0$ implica $V = \phi~\phi^\dagger$ con $\phi \mapsto L\phi$ bajo una transformación de Lorentz; la relación de las componentes de $\phi$ en realidad da una proyección estereográfica de la dirección de $\phi$ en el cielo nocturno, hasta el complejo plano: $L$ es una transformada bilineal y vemos que las transformadas de Lorentz son todas transformadas de Möbius del cielo. Finalmente se obtiene la ventaja añadida de que el subgrupo de rotación $\text{SO}(3)$ se realiza mediante la matriz de Lorentz $L = \exp\big((i\theta/2)~\hat n\cdot\vec \sigma\big):$ también se ve directamente la conexión de las rotaciones con las matrices unitarias $\text{SU}(2).$ También se ve que la matriz de rotación por $2\pi$ es de hecho $L=-I$ que, efectivamente, preserva $V$ ... pero insinúa que el espacio vectorial natural $\mathbb C^2$ que $\phi$ vive es intrínsecamente espinorales : después de una rotación completa del espacio, todo se mapea en su negativo.

Existe algo así como una métrica invariante de Lorentz en el espacio de 2 espinores y es la matriz de Levi-Civita $\epsilon_{AB},$ no es realmente una "métrica", ya que es antisimétrica y no simétrica, pero puede utilizarse canónicamente para subir y bajar índices, y para construir la métrica real. Pero para hacer esto, necesitamos una forma notacional de representar el espacio conjugado, esta idea que también tenemos $\phi^\dagger \mapsto \phi^\dagger L^\dagger.$

Índices abstractos y espacios conjugados

Para ello necesitamos la idea de un abstracto índice: básicamente un vector de 4 (o lo que sea) vive realmente en algún espacio $\mathcal V^\bullet$ hacemos copias de este espacio para un grupo de símbolos y expresamos la pertenencia a un espacio mediante un superíndice; así $v^a$ vive en la copia $\mathcal V^a.$ Identificamos estos vectores mediante un isomorfismo de reetiquetado que podríamos escribir como $\delta^a_b$ si lo prefiere; $v^b$ es el vector canónicamente equivalente a $v^a$ pero viviendo en $\mathcal V^b$ en lugar de $\mathcal V^a.$ También identificamos los covectores $\mathcal V_\bullet$ que son mapas lineales de $\mathcal V^\bullet$ así que algún conjunto de escalares; creamos copias de este espacio también y lo asociamos con el espacio correspondiente: $\mathcal V_a$ mapas de $\mathcal V^a$ a los escalares. De este modo se puede codificar de forma muy precisa y geométrica la relación subyacente sin necesidad de la "suma de Einstein", etc.

El truco que jugamos aquí es producir una copia de $\mathcal V^\bullet$ como espacio conjugado, $\bar{\mathcal V}^{\bar\bullet}.$ Marcamos especialmente sus índices como pertenecientes al espacio conjugado y denotamos el isomorfismo como $\big(v^A\big)^\dagger = v^{\bar A};$ volvemos a utilizar la misma notación pero con un índice barrado. Sin embargo, nuestra convención es que $$\big(\alpha~u^A + \beta~v^A\big)^\dagger = \alpha^*~u^\bar A + \beta^* v^\bar A.$$ La reutilización del mismo símbolo con barra o sin ella da un significado estructurado por el que podemos decir algo así como $V$ es hermético; podemos decir que debe tener dos índices $v^{A\bar A} = \big(v^{A\bar A}\big)^\dagger.$ Así que cuando introducimos una base de espín un conjunto $\omicron^A, \iota^A$ tal que $\epsilon_{AB} \omicron^A \iota^B = 1$ -- encontramos que esto induce cuatro vectores base naturales para el espacio Hermitiano, $$w^{A\bar A} = \sqrt{\frac12}\left(\omicron^A~\omicron^\bar A + \iota^A~\iota^\bar A\right),\\ x^{A\bar A} = \sqrt{\frac12}\left(\omicron^A~\iota^\bar A + \iota^A~\omicron^\bar A\right),\\ y^{A\bar A} = i\sqrt{\frac12}\left(\omicron^A~\iota^\bar A - \iota^A~\omicron^\bar A\right),\\ z^{A\bar A} = \sqrt{\frac12}\left(\omicron^A~\omicron^\bar A - \iota^A~\iota^\bar A\right). $$ Al definir $\alpha$ como abreviatura del par de índices $A\bar A$ recuperamos nuestros conocidos índices de 4 vectores. También encontramos una expresión bastante sorprendente para la norma de Minkowski, $$\eta_{\alpha\beta} = \epsilon_{AB}~\epsilon_{\bar A\bar B}.$$

Cómo se aplicaría esto a la mecánica cuántica

Si en cambio quisiéramos identificar una función de onda $\psi$ como un vector en un espacio de Hilbert $H^\bullet$ tendríamos que identificar un espacio conjugado $\bar H^\bar \bullet.$ Esto nos permite identificar canónicamente que $\big(\psi^A\big)^\dagger = \psi^\bar A$ de manera coherente.

El producto interno entre dos funciones de onda tendría entonces la forma $g_{A\bar A}$ ya que conectaría una función de onda en el espacio conjugado con otra en el espacio normal, $\langle \phi|\psi\rangle = g_{A\bar A}~\psi^A~\phi^\bar A.$ En lugar de ser simétrico, en esta forma tenemos que $g$ es hermitiano y en cierto sentido baja los índices a un espacio conjugado en lugar de su espacio normal, $g_{A \bar A}~\psi^A = \psi_\bar A.$

No estoy seguro de que este sea el "truco" correcto para jugar con la mecánica cuántica, pero lleva a matrices de densidad que se parecen a $\psi^A~\psi^\bar A$ en el caso de estado puro que no parece tan malo, y fue un truco muy exitoso para el cálculo de 2 espinores.