Tengo dos medidas $\mu$ y $\nu$ apoyado en los compactos en $\mbox{int } \mathbb{R}^{n}_+$ . ¿Existen algunas clases de medidas suficientemente generales para las que $$ \int\limits_{\mathbb{R}^n_+} \frac{\mu(dx)}{x_1^{z_1} x_2^{z_2}\cdots x_n^{z_n}} = \int\limits_{\mathbb{R}^n_+} \frac{\nu(dx)}{x_1^{z_1} x_2^{z_2}\cdots x_n^{z_n}} $$ que se mantiene para cualquier $\Re z_1 > R$ , $\Re z_2 > R$ , ..., $\Re z_n > R$ y $R>1$ implica $\mu = \nu$ ?
Respuesta
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Es cierto para cualquier medida compleja regular de Borel con soporte compacto. Sea $K$ sea la unión de los soportes de las dos medidas. El tramo lineal $V_0$ de las funciones $1/(x_1^{z_1} \ldots x_n^{z_n})$ para $\Re z_j > 0$ es denso en $C(K)$ por el Teorema de Stone-Weierstrass. Como sus funciones son de la forma $f/(x_1 \ldots x_n)^R$ para $f \in V_0$ y $(x_1 \ldots x_n)^R$ no tiene ceros en $K$ su tramo lineal también es denso en $C(K)$ . Así que $\mu$ y $\nu$ correspondientes a funciones lineales continuas en $C(K)$ coinciden en un conjunto denso y por lo tanto son iguales.
