Conjuntos contables frente a conjuntos ultranegligibles

Question

Un subconjunto $A\subset\mathbb{R}$ es despreciable si para cada $\epsilon>0$ existe una secuencia $(I_n)$ de intervalos tales que $A\subset\cup_n I_n$ y $\sum_n \vert I_n \vert \leq \epsilon$ . Digamos que $A$ es ultranegligible si para cualquier secuencia $(\epsilon_n)$ de números positivos, existe una secuencia $(I_n)$ de intervalos tales que $A\subset\cup_n I_n$ y $\vert I_n\vert \leq \epsilon_n$ para todos $n$ (por ejemplo, cualquier conjunto contable es ultranegligible). Es evidente que todo conjunto ultranegligible es despreciable. En su famoso libro de problemas, P. Halmos demuestra que lo contrario no es cierto: el conjunto triádico de Cantor es despreciable pero no ultranegligible.

Me pregunto si hay ejemplos de conjuntos ultranegligibles que no sean contables.

Answer 1

Los conjuntos a los que se refiere como "ultranegligibles" se conocen como conjuntos de medida fuerte cero y la afirmación de que todo conjunto de medida fuerte cero es contable se conoce como la Conjetura de Borel y es independiente de ZFC.

Si se cumple la hipótesis del continuo (también si se cumple el axioma de Martin), entonces hay conjuntos incontables de medida fuerte cero, por lo que es consistente con ZFC que la conjetura de Borel falle. Mientras tanto, Richard Laver demostró la consistencia relativa de la conjetura de Borel. Y, por tanto, es independiente de ZFC.

Sucede que Kameryn Williams acaba de dar una charla sobre este tema el viernes pasado en el seminario de teoría de conjuntos de la CUNY.