Cuando hace un p-ádico función tiene un Mahler expansión?

Question

Deje $f: \mathbb{Z}_p \rightarrow \mathbb{C}_p$ ser cualquier función continua. A continuación, Mahler se demostró que no son los coeficientes $a_n \in \mathbb{C}_p$ con

$$ f(x) = \sum^{\infty}_{n=0} a_n {x \elegir n}. $$

Esto se conoce como el Mahler de expansión de $f$. Aquí, para dar sentido a $x \choose n$ $x \not\in \mathbb{Z}$ definir

$$ {x\elegir n} = \frac{x(x-1)\ldots(x-n+1)}{n!}. $$

También es importante la aplicación de la teoría de números: expresar una función en términos de su Mahler expansión es un paso en la traducción de la antigua interpolación basado en el lenguaje de $p$-ádico $L$-funciones en el más moderno de la medida de la teoría de la lengua. Esta aplicación se explica en el Coates y Sujatha del libro Cyclotomic Campos y Valores Zeta.

Sin embargo, cuando el $p$-ádico $L$-la función es más complicado de lo que Kubota-Leopoldt, me parece que esta "traducción" realmente requiere ser capaz de escribir una Mahler expansión de una función de $f$ con mucho dominio más grande, por ejemplo, el anillo de enteros de la finalización de la máxima unramified extensión de $\mathbb{Q}_p$ o algunos finitely ramificado de extensión. (Véase, por ejemplo, de la línea (8), p. 19 de Shalit del Iwasawa la Teoría de Curvas Elípticas con Complejo de la Multiplicación).

No puedo encontrar una referencia publicada de que estas funciones tienen realmente Mahler expansiones. Mahler documento se usa en una forma esencial que los enteros positivos son densos en $\mathbb{Z}_p$, por lo que no instantáneamente generalizar.

Así que es cierto o falso que un anillo de enteros $\mathcal{O}$ en un finitely ramificado extensión de la $\mathbb{Q}_p$, y una función de $f: \mathcal{O} \rightarrow \mathbb{C}_p$, hay una Mahler expansión como el anterior?

Answer 1

Es falso para la valoración de anillo en cualquier trivial finito extensión de $\mathbb{Q}_p$. Los coeficientes de la Mahler expansión de una función continua $\mathcal{O} \to \mathbb{C}_p$ son determinadas por su restricción a $\mathbb{Z}_p$ (que se dan como $n$-th diferencias de la secuencia de valores en números enteros no negativos, de hecho). Pero hay diferentes funciones continuas $\mathcal{O} \to \mathbb{C}_p$ con la misma restricción a $\mathbb{Z}_p$.

Peor aún, la Mahler expansiones ni siquiera necesitan converger porque si $x$ no $\mathbb{Z}_p$, el coeficiente binomial valores puede tener valoración negativa.

EDIT: Como Kevin Ratonero y dke sugieren, se puede dar una respuesta positiva si su pregunta se interpreta de manera diferente. El punto de esta edición es hacer un par de explícito comentarios en estas dos direcciones.

1) Si se sabe de antemano que $f \colon \mathcal{O} \to \mathbb{C}_p$ es representado por una única convergente de alimentación de la serie, a continuación, la Mahler expansión de $f|_{\mathbb{Z}_p}$ converge a $f$ sobre todo $\mathcal{O}$. Esto puede ser deducido por el teorema de que una función continua $\mathbb{Z}_p \to \mathbb{C}_p$ es analítico si y sólo si la Mahler coeficientes de dilatación $a_n$ satisfacer $a_n/n! \to 0$ (véase el Teorema de 54.4 en Ultrametric cálculo: una introducción a $p$-ádico análisis por W. H. Schikhof).

2) Si uno elige un $\mathbb{Z}_p$-base de $\mathcal{O}$, $f$ puede ser interpretado como una función continua $\mathbb{Z}_p^r \to \mathbb{C}_p$, y dicha función tiene un multivariable Mahler expansión $$\sum a_n \binom{x_1}{n_1} \cdots \binom{x_r}{n_r},$$ donde la suma es sobre tuplas $n=(n_1,\ldots,n_r)$$n_i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, y $a_n \to 0$ $p$-adically.

Answer 2

Ehud de Shalit tiene un preprint llamado "de Mahler teorema de los campos locales", que hace lo que quiere.

Answer 3

Como Bjorn dice en su respuesta, el conjunto de coeficiente binomial funciones simplemente no es suficiente en general. Sin embargo, mucho se ha escrito acerca de los análogos de Mahler expansiones, es decir, encontrar agradable bases para los diversos espacios de funciones continuas, volviendo a Amice en la década de 1960 para finitos extensiones de ${\mathbb Q}_p$, así como la característica positiva versiones. Todo esto está muy bien explicado en Keith Conrad El Dígito Principio, J. Teoría de los números 84 (2000), no. 2, 230--257. arXiv versión

S. Evrard ha ampliado recientemente algunos de estos resultados para los casos con infinito residuo de campo Normal bases de anillos de funciones continuas construido con el $(q_n)$dígitos principio. Acta Arith. 135 (2008), no. 3, 219--230.

Editado para añadir: probablemente el de más relevancia a su pregunta, aunque sería la teoría de Mahler-tipo de expansiones desarrollado en p-Ádico de Fourier de la Teoría de Schneider y Teitelbaum.

Answer 4

Usted puede buscar el papel bonito por Manjul Bhargava y Kiran Kedlaya titulado "funciones Continuas en conjuntos compactos de los campos de la región". Los resultados de este trabajo son más débiles que los artículos propuestos por otras personas, pero sin embargo, el papel es realmente fácil y un placer de leer.

Answer 5

La respuesta a otra interpretación de la pregunta es: cualquier función continua a partir de la p-ádico enteros para un espacio de Banach sobre el p-ádico números tiene un Mahler expansión, donde los coeficientes de los polinomios de Newton son elementos del espacio de Banach, calculada por el de Newton interpolación suma.

Carl