Si $f'/f$ tiene un polo de orden 1 en $z=0$ entonces $f$ tiene un polo o un cero en $z=0$

Question

El problema: Supongamos que una función $f$ es analítico en $\{z\in\mathbb{C}\ :\ 0 <|z|<r\}$ para algunos $r>0$ y que $f'/f$ tiene un polo de orden uno en $z=0$ . Prueba que entonces $f$ tiene un polo o un cero en $z=0$ .

Para llegar a una contradicción, supongamos que $f$ no tiene ni un cero ni un polo en $z=0$ .

Si $f$ tiene una singularidad removible en $z=0$ . Entonces $f'$ también tiene una singularidad extraíble en $z=0$ y como $f(0)\ne0$ , obtenemos que $1/f$ es analítico cerca de $z=0$ . Por lo tanto, $f'/f$ no puede tener un polo de orden uno en $z=0$ .

Si $f$ tiene una singularidad esencial en $z=0$ . Entonces $f'$ también tiene una singularidad esencial en $z=0$ .

No estoy seguro de cómo proceder aquí y terminar este argumento. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

He aquí una pequeña pista:
Elija un tamaño lo suficientemente pequeño $s\lt r/2$ tal que $f$ no tiene ceros ni polos en el dominio $\{z\in C|0\lt |z|\lt 2s\}$ . Utiliza el teorema de Rouche y el teorema del residuo para calcular la integral $\int_{|z|=s} \frac{f'(z)}{f(z)}dz$ .