Sobre el subgrupo p de Sylow

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo y $P$ a Sylow $p$ -subgrupo de $G$ . Sé que $P$ se compone de todos los $p$ -elementos en $N_{G}(P)$ . Mi pregunta es la siguiente:

Si $P$ es cualquier $p$ -subgrupo de $G$ y si no hay $p$ -elemento de $G-P$ normaliza $P$ en $G$ Entonces, ¿es cierto que $P$ es un Sylow $p$ -subgrupo de $G$ ? Si no es así, tal vez alguien conozca un contraejemplo. Gracias.

Answer 1

Si $P$ es un $p$ -pero no es Sylow, entonces está contenido en un Sylow $P_1$ . Entonces hay un subgrupo $P_2<P_1$ tal que $[P_2:P]=p$ y $P$ es normal en $P_2$ .