Integración del acumulado inverso de la distribución normal estándar

Question

Estoy estudiando este libro y una línea en particular dice

$\int_{1-p}^1 \Phi^{-1}(u)du=$ {sujeción $k=\Phi^{-1}(u)$ }= $\int_{\Phi^{-1}(1-p)}^\infty k\phi(k)du$ , donde $\Phi$ y $\phi$ son las funciones acumulativas y de densidad de la distribución normal estándar.

y no puedo ver cómo se deriva esto.

¿Alguna persona amable tiene ganas de explicarlo? Gracias de antemano

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\Phi^{-1}[\Phi(k)] = k$$

Así que subiendo $u=\Phi(k)$ , $du = \Phi'(k) dk = \phi(k) dk$ obtenemos

$$\int_{1-p}^1 du \, \Phi^{-1}(u) = \int_{\Phi^{-1}(1-p)}^{\Phi^{-1}(1)} dk \, \Phi^{-1}[\Phi(k)] \Phi'(k) = \int_{\Phi^{-1}(1-p)}^{\infty} dk \, k\, \phi(k) $$