Geometría diferencial: Si $\vec v = v^i \vec e_i$ Entonces, ¿por qué $\vec r = r \vec e_r$ en coordenadas esféricas?

Question

En la geometría diferencial (y posteriormente trasladada a la RG) cualquier vector abstracto $\vec v$ existe en su propio espacio vectorial.

Podemos entonces elegir representar este vector en una base de coordenadas $\vec v = v^i \vec e_i$ y una afirmación fundamental es que esto es independiente de las bases, por lo que si transformamos a una base $\vec e^{'}_i$ Es decir, es $$\vec v = v^i \vec e_i = v^{'i} \vec e^{'}_i,$$ que luego nos ayuda a encontrar leyes de transformación, etc.

Así que mi pregunta tonta: Como la primera afirmación es cierta, ¿por qué el vector de posición completo en coordenadas esféricas 3D $\vec r = r \vec e_r$ , en lugar de $\vec r = r \vec e_r + \theta \vec e_{\theta} + \phi \vec e_{\phi}$ ?

P.D. Estoy al tanto de esta respuesta en math.se donde se afirma en un comentario, que

En coordenadas polares o esféricas, el vector unitario radial incorpora la información direccional a través de su dependencia de las variables de coordenadas angulares.

Sabiendo esto, todavía no estoy seguro, por qué $\theta = \phi=0$ en el ejemplo anterior.

Lo pregunto principalmente porque la forma de $\vec r$ determina la forma de las ecuaciones de movimiento, y utilizando $\vec r = r \vec e_r + \theta \vec e_{\theta} + \phi \vec e_{\phi}$ obviamente daría demasiados términos de fuerza ficticios en $\ddot{\vec r}$ pero uno podría tener la idea de usar esa forma de $\vec r$ .

Answer 1

Respuesta corta: $\vec{r}$ es siempre a lo largo de $\hat{e}_r$ por lo que su descomposición no puede incluir otros elementos de base.

Vector de posición $\vec{r}$ es un tipo específico de vector que es siempre a lo largo de $\hat{e}_r$ . La razón de esto es $$ \hat{e}_r \triangleq \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} $$ para coordenadas esféricas para que punto. No todos los vectores tienen esta propiedad.

Una forma de eliminar la confusión es considerar otro vector, por ejemplo, un vector de desplazamiento $\Delta{\vec{r}} := \vec{r}_1 - \vec{r}_2$ . Mirando desde el primer punto, el primer término $\vec{r}_1$ es a lo largo de $\hat{e}_r$ . Pero, el segundo punto no se encuentra (necesariamente) en la línea representada por $\hat{e}_r$ porque las bases se definieron con respecto al primer punto y $\vec{r}_2$ puede estar en cualquier punto arbitrario casi todos los cuales no a lo largo de $\hat{e}_r$ .

Answer 2

Usted confunde dos espacios. Un colector, M, tiene un espacio tangente, Tp(M) en cada punto del colector. Así, por ejemplo, en una esfera (no en coordenadas esféricas, sino en un colector 2dim) hay un plano tangente en cada punto y cualquier vector en ese espacio puede expresarse en términos de los vectores base del espacio en ese punto. En cierto sentido, podemos pensar que los vectores están basados en el punto del colector, pero no es necesario. Todo el álgebra vectorial que conocemos del espacio euclidiano se aplica a Tp(M). Los vectores basados en diferentes puntos de M no pueden sumarse. Es necesario transportarlos paralelamente de un punto a otro para llevarlos al mismo espacio.

Incluso el espacio euclidiano tiene un número infinito de Tp(M), pero todas son copias "paralelas" entre sí y no aportan ninguna información adicional para su uso práctico.

En tu ejemplo estás viendo el vector de posición de un punto en un espacio euclidiano de 3 dimensiones. Se trata de un vector de desplazamiento desde el punto (0,0,0) hasta el punto (x, y, z). Las coordenadas esféricas no son lo mismo que los planos tangentes en una esfera. Aquí estamos utilizando familias de superficies incrustadas en E3 (R3 con una matriz de identidad para una métrica) para etiquetar puntos (r, theta, phi). La conversión de (x, y, z) a estas coordenadas es trivial (r*sin(theta) cos(phi), ...) = r (sin(theta) cos(phi), ...) = r e_r. Las coordenadas en E3 no son comparables a las tangentes en M. Cada superficie de coordenadas puede ser un 2dim M en E3 y los vectores locales coinciden con los de Tp(M) para cada familia de superficies. Pero el vector que intentas describir no vive en ninguno de esos espacios.