¿Puede alguien explicarme la fórmula de mapeo de cubo a esfera?

Question

Me pregunto si alguien podría explicar cómo funciona la siguiente fórmula, se supone que tomar la entrada como un punto en un cubo y luego mapa que a los puntos en una esfera, por favor ir suave en mí, estoy en 9 º grado O_O

$$\begin{bmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x\sqrt{1-\frac{y^2}{2}-\frac{z^2}{2}+\frac{y^2z^2}{3}} \\ y\sqrt{1-\frac{z^2}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{z^2x^2}{3}} \\ z\sqrt{1-\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}+\frac{x^2y^2}{3}} \end{bmatrix}$$

Gracias.

Answer 1

Algunas indicaciones sobre cómo el autor llegó a la fórmula se dan en las entradas del blog que Rahul enlazó. Otro enfoque es considerar la expresión $1-(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)$ . El segundo término es cero siempre que una de las coordenadas sea $\pm1$ y, por tanto, en particular en el cubo de la unidad. Así, si podemos asociar $(x,y,z)$ con un vector cuyo cuadrado tiene esta forma, entonces se deduce que este vector es un vector unitario, y por tanto está situado en la esfera unitaria, siempre que $(x,y,z)$ está en el cubo de la unidad.

El caso bidimensional del cuadrado unitario y el círculo unitario es un poco más fácil. Aquí queremos que el cuadrado del vector sea $1-(1-x^2)(1-y^2)=x^2+y^2-x^2y^2$ . Por supuesto, hay todo tipo de vectores que podríamos utilizar, pero si queremos que nuestro vector sea aproximadamente similar a $(x,y)$ podríamos considerar una expresión que obtenga el $x^2$ del primer componente y el $y^2$ término del segundo componente. Esto deja el $-x^2y^2$ que hay que tratar, y tiene sentido distribuirlo simétricamente entre los dos componentes. Así, queremos $(x',y')$ con $x'^2=x^2-x^2y^2/2$ y $y'^2=y^2-x^2y^2/2$ y eso produce precisamente las expresiones dadas en la entrada del blog para el cuadrado y el círculo, $x'=x\sqrt{1-y^2/2}$ y $y'=y\sqrt{1-x^2/2}$ .

Si queremos hacer lo mismo para el cubo y la esfera, sólo tenemos que distribuir algunos términos más: $1-(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)=x^2+y^2+z^2-x^2y^2-y^2z^2-z^2x^2+x^2y^2z^2$ . Hay un término para cada par de componentes, y podemos distribuirlo en partes iguales entre esos dos componentes; y hay un término que contiene los tres componentes, que podemos distribuir en partes iguales entre los tres componentes. El resultado es la fórmula que das.

No estoy diciendo que el autor haya llegado a la fórmula de esta manera, o que haya sido fácil llegar a la fórmula (las cosas siempre son mucho más fáciles a posteriori), sino que verlo de esta manera permite una comprensión más sistemática de la fórmula al establecer una conexión con el hecho de que un producto (en este caso $(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)$ ) es cero si y sólo si al menos uno de sus factores es cero.

Me parece estupendo que pienses y preguntes sobre esto en noveno curso; no dudes en preguntar más en caso de que haya utilizado conceptos o terminología con los que no estés familiarizado.

Answer 2

Gracias por la explicación de joriki . La fórmula anterior se ha explicado en 1 . Pero la fórmula tiene algunas limitaciones. La longitud del cubo puede ser 2 (-1 a 1 en todas las direcciones). A partir del concepto anterior, mencionado por joriki o 1 podemos generalizar para el cubo de cualquier longitud (es decir, 2a (-a a en todas las direcciones)). Aquí 2a es la longitud del lado del cubo.

$a^6-(a^2-x^2 )(a^2-y^2)(a^2-z^2)=x^2 a^2 (a^2-\frac{z^2}{2}-\frac{y^2}{2}+\frac{y^2 z^2}{3a^2})+y^2 a^2 (a^2-\frac{z^2}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^2 z^2}{3a^2})+z^2 a^2 (a^2-\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}+\frac{y^2 x^2}{3a^2})$

Así que,

$x'=xa \sqrt{a^2-\frac{z^2}{2}-\frac{y^2}{2}+\frac{y^2 z^2}{3a^2}}$ ,

$y'=ya \sqrt{a^2-\frac{z^2}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^2 z^2}{3a^2}}$ ,

$z'=za \sqrt{a^2-\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}+\frac{y^2 x^2}{3a^2}}$ .

A partir de la ecuación anterior, podemos separar fácilmente las (x',y',z') como se explica en 1 . La ecuación anterior encontrará fácilmente el mapeo de la longitud generalizada del cubo a una esfera. Espero que esto sea útil.

A partir de la ecuación anterior también podemos encontrar la distribución uniforme de los puntos dentro de la esfera variando el tamaño de la cuadrícula del cubo. Discretizando el cubo en diferentes cuadrículas y mapeando simultáneamente en la esfera se obtendrá la distribución uniforme de los puntos dentro de la esfera.

Por favor, ignore algunos errores tipográficos.