Comprobar la tangente vertical en $x=0$ para $y= -\sqrt{|x|}$ para $x\leq0 $ , $y= \sqrt{x}$ para $x>0 $

Question

Comprueba si la función tiene una tangente vertical en el origen.

$y= -\sqrt{|x|}\hspace {10pt} for \hspace {10pt} x\leq0 $

$y= \hspace {12pt}\sqrt{x}\hspace {12pt} for \hspace {12pt} x>0 $

NOTA: Ignorar el gráfico rojo del 4º cuadrante

$\lim_{h\to0^+} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{\sqrt{x+h}-0}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{\sqrt{x+h}}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{\sqrt h}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{1}{h^{1/2}}=+\infty$

Ahora, para $\lim_{h\to0^-}$ del gráfico $f(x) > f(x+h)$

$\therefore \lim_{h\to0^-}\frac{f(x) - f(x-h)}{h}=\lim_{h\to0^-}\frac{0 - (-\sqrt{|x-h|})}{h}=\lim_{h\to0^-}\frac{\sqrt{|x-h|}}{h}=\lim_{h\to0^-}\frac{\sqrt h}{h}=\lim_{h\to0^-}\frac{1}{\sqrt h}$

Pero $h$ es un número negativo muy pequeño y $\sqrt{.}$ de un número negativo no está definido, por lo que concluyo que la tangente vertical no está presente en el origen.

Pero según el manual de soluciones, el segundo límite también es $\infty$ y por lo tanto la tangente vertical está presente.

Así es como lo resuelven

Answer 1

El problema viene en la penúltima igualdad. Su igualdad era: $lim_{h→0^-}\frac{\sqrt{|x−h|}}{h}=lim_{h→0^-}\frac{\sqrt{h}}{h}$

Sin embargo, como $h$ es negativo, $|x−h|=-h$ cuando $x$ es $0$ .

Por lo tanto, la igualdad debe ser $lim_{h→0^-}\frac{\sqrt{|x−h|}}{h}=lim_{h→0^-}\frac{\sqrt{-h}}{h}=lim_{h→0^-}\frac{1}{\sqrt{-h}}=+\infty$

Espero que eso haya ayudado.