Pregunta sobre esta prueba de irracionalidad.

Question

Encontré esta prueba en mathoverflow. Es sobre la irracionalidad de $(\arcsin 1/4)/\pi$ .

Mi pregunta es: Asumiendo que no conocemos el valor de $(\arcsin 1/2)$ y sólo sabía que $\sin(\arcsin 1/2) = 1/2$ entonces esta prueba no funcionaría igual para establecer la irracionalidad de $(\arcsin 1/2)/\pi = 1/6?$

Answer 1

No. No funcionaría de la misma manera. Con $\theta=\arcsin(1/2)$ el argumento seguiría llevando a la conclusión de que $2i\sin\theta$ es un número entero algebraico. Sin embargo, esta vez $$2i\sin\theta=2i\cdot\frac12=i$$ en realidad es un número entero algebraico, un cero del polinomio mónico $x^2+1$ con coeficientes enteros. Así que no llegamos a esa misma contradicción.