¿Cuál podría ser una referencia sobre expansiones binomiales para elementos no conmutativos?
Específicamente, ¿dónde puedo encontrar una fórmula cerrada para la expansión de $(A+B)^n$ donde $[A,B]=C$ y $[C,A]=[C,B]=0$?
Encontré algunas ideas sobre eso y también una prueba usando PDE en el siguiente sitio web: enlace . Pero no he encontrado tal fórmula en un artículo o libro científico publicado.
Aquí están los pasos de cálculo, en caso de que pueda ayudar a alguien:
El lado izquierdo se puede escribir PS donde se reconoce el término que queremos calcular.
El lado derecho está dado por PS
Identificando ambos lados, se tiene: PS
PS
Notemos $$e^{t(a+b)} = \sum_{k} \frac{(a+b)^k t^k}{k!}$ y $$e^{ta} e^{tb} e^{- c t^2 / 2} = \sum_{i, j, k} t^{i + j + 2k} \frac{a^i b^j (-c / 2)^k}{i! \, j! \, k!}$, PS
PS
Cuál es la fórmula esperada.
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