¿Por qué es $ \nabla \cdot \vec{E} \neq 4 \pi\ k$ veces la densidad de carga?

Question

Para una carga lineal con densidad $\lambda$ queremos calcular la divergencia en un punto de la línea de carga. Partimos de la definición de divergencia:

$ \nabla \cdot \vec{E}=\dfrac{d \iint \vec{E} \cdot d\vec{S}}{dV} =4 \pi\ k\ \dfrac{q_{\text{ enclosed}}}{dV}=4 \pi\ k\ \dfrac{dq}{dV}$

Pero esto no es igual a $4 \pi\ k\ \lambda = 4 \pi\ k\ \dfrac{dq}{dl}$ es decir, esta expresión no contiene la densidad de carga de la línea.

Pero mi libro dice $\nabla \cdot \vec{E}$ en los puntos de origen es siempre $4 \pi\ k$ veces la densidad de carga.

Answer 1

Como mencionó Phillip Wood en su respuesta, una carga lineal tendría una densidad de carga infinita a lo largo de la línea y cero fuera de ella. Sin embargo, hay una forma de evitar este problema. Lo que podemos hacer es introducir la función delta (delta de Dirac para ser precisos) $\delta(x)$ para resolver esto.

Básicamente una función delta, según los físicos, se define como $$ \delta(x) = \begin{cases} \infty,& \text{if } x = 0\\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} $$ También , $$ \int_{-\epsilon}^{+\epsilon}{\delta(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x} = 1, \qquad \epsilon > 0 $$

Usando esto podemos definir la densidad de carga total para la carga lineal a lo largo de $z$ -eje como sigue $$\rho(x,y,z) = \lambda \delta(x)\delta(y)$$ Esto es coherente con la observación de que la densidad de carga es infinita a lo largo de la línea (es decir, $x=y=0$ ) y cero en el resto.

Para obtener la densidad de carga de la línea a lo largo de $z$ -eje integramos $\rho$ a través de todo el espacio en cada $z$ $$ \text{Line charge density} = \int_{x}\int_{y}\rho(x,y,z)\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathop{}\!\mathrm{d}y=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\lambda \delta(x)\delta(y) \mathop{}\!\mathrm{d}x\mathop{}\!\mathrm{d}y $$ Utilice la definición de la función delta $$ \text{Line charge density} = \lambda $$ Esto es exactamente lo que esperábamos.

Ahora puede intentar integrar $\rho$ para obtener la carga total (Ans: $\int\rho \mathop{}\!\mathrm{d}x\mathop{}\!\mathrm{d}y\mathop{}\!\mathrm{d}z = l \lambda$ donde, $l$ es la longitud del elemento de la línea).

Así, la divergencia puede escribirse como $$ \nabla\cdot \mathbf{E} = 4\pi k \rho = 4\pi k \lambda \delta(x) \delta(y) $$ Esto es lo que querías en la pregunta.

Para obtener la forma integral $$ \int \nabla\cdot\mathbf{E}\mathop{}\!\mathrm{d}V = \int 4\pi k \rho(x,y,z) \mathop{}\!\mathrm{d}x \mathop{}\!\mathrm{d}y \mathop{}\!\mathrm{d}z \\ \implies \oint \mathbf{E}\cdot\mathop{}\!\mathrm{d}\mathbf{S} = 4 \pi k \lambda l $$

Nota:

La función delta es extremadamente útil. Imagina que tienes una partícula puntual con carga $q$ en el origen.
Tendrá una densidad de carga $$ \rho(x,y,z) = q \delta(x)\delta(y)\delta(z) $$
Así, la ley de Gauss será $$ \nabla\cdot\mathbf{E} = 4\pi k \rho = 4\pi k q \delta(x) \delta(y) \delta(y) $$ Integrando esto (utilizando la propiedad de la función delta) se obtiene

$$ \oint \mathbf{E}\cdot\mathop{}\!\mathrm{d}\mathbf{S} = 4 \pi k q $$ Ahora dejemos que la superficie sea una superficie de esfera con radio $R$ . Ahora, por simetría esférica (el problema no tiene dirección preferida: si giras una carga puntual seguirá pareciendo lo mismo) el campo eléctrico será función de la distancia a la carga, $r$ sólo. También porque la fuerza eléctrica es una fuerza central, el campo eléctrico será a lo largo de la dirección radial (es decir, $\mathbf{E} = |E(r)| \hat r $ Por lo tanto

$$ \oint \mathbf{E}\cdot\mathop{}\!\mathrm{d}\mathbf{S} = \oint |E(r)|\mathop{}\!\mathrm{d}A = |E| \oint_{sphere} \mathop{}\!\mathrm{d}A = 4\pi R^{2}|E| \\ \implies 4\pi R^{2}|E| = 4 \pi k q \\ \implies \mathbf{E} = \frac{k q}{R^{2}} \hat{r} $$

¡¡Justo lo que esperabas de un cargo de punto!!

Aunque hay formas más sencillas de ver el resultado obvio anterior, se vuelve extremadamente útil en problemas complicados y se aplica casi en todas partes en la Física. ¡Intenta explorar más sobre esto!

Answer 2

A carga de la línea es una ficción conveniente: se supone que la línea (que no tiene espesor) está cargada uniformemente en toda su longitud. Como la línea no tiene espesor, la densidad de carga, $\rho,$ que es el $\frac{dq}{dV}$ que aparece en la versión de la ley de Gauss que has citado, es infinita a lo largo de toda la línea. Para evitar la dificultad, definimos $\lambda,$ el densidad de carga lineal la carga por unidad de longitud de la línea. Esta será finita.

Esto no te ayuda a aplicar la ley de Gauss a un punto realmente en la línea. $\rho$ es infinito, por lo que la divergencia es infinita. Pero puedes aplicar la ley de Gauss en la forma que has citado a todos los puntos en el exterior la propia línea, porque $\rho$ es cero en todos estos puntos.

Más útil es aplicar la integral de la ley de Gauss a una superficie cilíndrica imaginaria de radio r con la línea de cargas a lo largo de su eje. Esto se debe a que se sabe que para un cilindro de longitud axial $l,$ la carga contenida es $\lambda l.$ Así (con su notación para la constante) $$\iint \textbf{E}\cdot d \textbf {S} = 4\pi k \lambda l.$$ Por la simetría, $\textbf{E}$ es normal a la superficie cilíndrica y de la misma magnitud a lo largo y alrededor de la superficie, por lo que la integral de superficie se evalúa en $4\pi r^2 lE$ .