Demostrar que la integral de la serie $\int _0^1\left(1-x^2\right)^n\,dx=\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot\ldots\cdot \frac{2n}{2n+1}$

Question

Tenemos la serie de $\left(I_n\right)_{n\ge 1\:}$ donde $$I_n=\int _0^1\left(1-x^2\right)^n\,dx.$$

Demostrar que $$I_n=\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot\ldots\cdot \frac{2n}{2n+1}.$$

Traté de integrar la función de $n=1,2,3$ a ver si hay un patrón (de la recurrencia de la relación), pero no puedo averiguar cómo escribir el patrón y cómo demostrar esa afirmación. Debo utilizar la inducción?

Answer 1

Integrar por partes para obtener: $$I_n=\int_0^1 \left(1-x^2\right)^n\,dx=\left(x\left(1-x^2\right)^n\right|_0^1+2n\int_0^1 x^2\left(1-x^2\right)^{n-1}\,dx$$ $$\Rightarrow I_n=2n\int_0^1 \left(x^2-1+1\right)\left(1-x^2\right)^{n-1}\,dx$$ $$\Rightarrow I_n=2nI_{n-1}-2nI_n \Rightarrow I_n=\frac{2n}{2n+1}I_{n-1}$$

Answer 2

Aquí está una manera que podría hacerlo sin la inducción, usando la Beta de la función y la función Gamma. Deje $\sqrt{t}=x$, por lo que $$ I_n=\int_0^1(1-t)^n\frac{t^{1/2}}{2}dt. $$ Ahora, esto se parece a la función Beta, por lo que tenemos $$ I_n=\frac{\Gamma(1/2)\Gamma(n+1)}{2\Gamma ((n+1)+1/2)}. $$ Utilizando el hecho de que $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$, $\Gamma(n+1)=n!$ para un entero positivo $n$, e $\Gamma((n+1)+1/2)=\frac{(2n+2)!}{4^{n+1}(n+1)!}\sqrt{\pi}$ por entero positivo $n$ (todos los cuales se pueden encontrar en los vínculos a la página de wikipedia), tenemos $$ I_n=\frac{\sqrt{\pi}n!4^{n+1}(n+1)!}{2(2n+2)!\sqrt{\pi}}=\frac{n!4^{n+1}(n+1)!}{2(2n+2)!}=\frac{n!(n+1)!2^{2n+1}}{(2n+2)!}=\frac{2\cdot4\cdot\dots\cdot 2n}{3\cdot5\cdot\dots 2n+1} $$ Edit: La última igualdad es algo sutil. Tenga en cuenta que $(n+1)!\cdot 2^{n+1}$ cancela el incluso términos en el denominador. El resto de los poderes de $2$ distribuir a través de la $n!$.

Answer 3

Como Byron Schmuland ha señalado recursiva patrón fue desarrollado aquí. El proceso en esta solución será una conexión a la función Beta.

Considere la integral \begin{align} I_{n} = \int_{0}^{1} \left(1-x^{2}\right)^{n} \, dx. \end{align} Deje $t = x^{2}$ obtener \begin{align} I_{n} &= \frac{1}{2} \, \int_{0}^{1} t^{-\frac{1}{2}} \, (1-t)^{n} \, dt \\ &= \frac{1}{2} \, B\left(\frac{1}{2}, n + 1 \right) \\ &= \frac{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) \, \Gamma\left(n + 1\right)}{\Gamma\left(n + \frac{3}{2}\right)} = \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot\ldots\cdot \frac{2n}{2n+1}. \end{align}

Answer 4

Otra manera simple sería para sustituir $ x = \sin \theta $ y, a continuación, convertir la integral a una integral sobre el círculo unidad y termine usando teorema de los residuos...

Answer 5

Para la concisión, vamos a $y:=1-x^2$, y $$\left(xy^n\right)'=y^n-2nx^2y^{n-1}=y^n-2n(1-y)y^{n-1}=(2n+1)y^n-2ny^{n-1}.$$

Entonces, la integración de $0$ a $1$, $$0=(2n+1)I_n-2nI_{n-1}.$$

Obviamente, $I_0=1$.