Valor de una fracción independiente de x

Question

Para $a=4$ se sabe que el valor de la fracción $\frac{(a+2)x + a^2 - 1}{ax-2a + 18}$ es independiente de $x$. El otro valor de $a$ para el cual esto es cierto pertenece al intervalo _______.

Mi enfoque: Dado que la fracción es independiente de $x$ para $a=4$, podemos asumir que el valor se convierte en $\frac{15}{10}$ = $\frac{3}{2}$, sustituyendo $x = 0$. No sé cómo proceder al siguiente paso después de esto. Por favor ayuda.

Answer 1

Pista

Considera la función $$f(x)=\frac{(a+2)x + a^2 - 1}{a(x-2) + 18}$$ Calcula su derivada para obtener $$f'(x)=-\frac{(a-4) (a+3)^2}{(a (x-2)+18)^2}$$

Estoy seguro de que puedes continuar desde aquí.

Answer 2

Si $a=4$, entonces tu fracción es simplemente $\frac32$. ¿Hay otro $a$ para el cual la fracción sea constante? Eso significaría que $\frac{a+2}{a}=\frac{a^2-1}{-2a+18}$, lo cual es equivalente a $a^3+2a^2-15-36=0$. Esta es una ecuación cúbica, pero ya sabes que tiene a $4$ como raíz. La única otra raíz es $-3.