¿Qué hace $||XY||_1$ ¿quieres decir?

Question

Tengo una pregunta sobre la notación utilizada en este problema por favor no me solucionen el problema .

Demuestra que $||XY||_1=||X||_1||Y||_1$ para r.vs independiente $X$ y $Y$ . Demuestre además que si $X$ y $Y$ también son integrables, entonces $E(XY)=E(X)E(Y)$

No entiendo cuál es la diferencia entre $||X||_1$ y $E(|X|)$ . Supongo que estamos hablando del $L^1(\mathbb{P})$ ¿norma? Pero entonces $$||X||_1=\int_\Omega |X(\omega)|d\mathbb{P}(\omega)=E(|X|) $$ Así que si esto es finito, entonces $E(X)$ existe, por lo que ya es integrable (¿por qué "también"?) Por lo tanto, el primer "demuestre que" se derivaría del segundo

Answer 1

Bajo la independencia $||XY||_1=||X||_1||Y||_1$ se mantiene incluso si $E|X|$ o $E|Y|$ es infinito (por el Teorema de Tonelli). Pero $E(XY)=(EX)(EY)$ se mantiene si las expectativas son finitas.