Dado $A\in \mathcal M_{k\times l}(\Bbb F)$ demostrar que la matriz $M=\begin{pmatrix} \ I_k & A \\ A^T & -I_l \end{pmatrix}$ es invertible

Question

Dado $A\in \mathcal M_{k\times l}(\Bbb F)$ demostrar que la siguiente matriz $$M=\begin{pmatrix} \ I_k & A \\ A^T & -I_l \end{pmatrix}$$ es invertible.

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He intentado encontrar su determinante y su rango, pero no me ha servido para averiguarlo. ¿Podría alguien aclararme cómo puedo averiguar si la matriz es invertible?

Answer 1

Para $A,B,C,D$ matrices de tamaños adecuados, se tiene las fórmulas

$$\det(M)= \det(A-BD^{-1}C)\det(D)$$ donde

$$M = \begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix}.$$

Lo que da en su caso particular que

$$\det(M) = \det(I_k+A^TA)\det(-I_l).$$

Nos queda probar que $\det(I_k+A^TA) \neq 0$ es decir, que $-1$ no es un valor propio de $A^TA$ . Y de hecho, si ese fuera el caso, podríamos encontrar $X \neq 0$ tal que

$$\Vert AX \Vert^2 = X^T A^T A X = -X^TX = -\Vert X \Vert^2$$ y eso no puede ser ya que el lado izquierdo de la igualdad es no negativo mientras que el lado derecho es estrictamente negativo.

_Nota: siguiendo la respuesta de "levap", hice aquí la suposición de que $\mathbb F$ es $\mathbb R$ o un campo formalmente real ._

Answer 2

El resultado es falso como se ha dicho. Por ejemplo, podemos tomar $A = (i) \in M_{1 \times 1}(\mathbb{C})$ y luego

$$ M = \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix} $$

con

$$ \det(M) = -1 - i^2 = 0. $$

Sin embargo, hay que tener en cuenta que tenemos

$$ M^2 = \begin{pmatrix} I & A \\ A^T & -I \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I & A \\ A^T & -I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I + AA^T & 0 \\ 0 & I + A^T A \end{pmatrix} $$

y así

$$ \det(M^2) = \det(M)^2 = \det(I - AA^T) \det (I - A^T A). $$

Si $\mathbb{F} = \mathbb{R}$ las matrices $AA^T$ y $A^TA$ son semidefinidos positivos y, por tanto, sólo tienen valores propios no negativos. Por lo tanto, $1$ no es un valor propio de $AA^T,A^TA$ y así $I - AA^T,I - A^TA$ son invertibles y también lo es $M$ .