Se puede contar $\cup\cap$ de una secuencia de conjuntos iguales contables $\cap\cup$ de alguna subsecuencia?

Question

Dejemos que $A = \cup_{i=1}^{\infty}\cap_{j=1}^{\infty} A_{j}^{i}$ . Puede $A$ se escriba $\cap_{i=1}^{\infty}\cup_{j=1}^{\infty} A_{k(i,j)}^{l(i,j)}$ Donde $l,k$ son algunos mapas $\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ ? Tratar de probarlo fue abrumador, así que me preguntaba si alguien ya sabe la respuesta.

Answer 1

El conjunto $\mathbb Q$ de los números racionales es la unión de un número contable de intersecciones de un número contable de intervalos abiertos en la recta real $\mathbb R$ . En concreto, es la unión de un número contable de conjuntos de un elemento, cada uno de los cuales es la intersección de una secuencia contable decreciente de intervalos abiertos. Afirmo que $\mathbb Q$ no es la intersección de un número contable de uniones de un número contable de intervalos abiertos. La razón es que cada una de esas uniones sería un conjunto abierto denso en $\mathbb R$ , denso porque incluye $\mathbb Q$ y abierto porque es una unión de intervalos abiertos. Por el teorema de la categoría de Baire, toda intersección de conjuntos abiertos densos de números reales es de la segunda categoría de Baire, mientras que $\mathbb Q$ siendo la unión de un número contable de conjuntos de un elemento, es de primera categoría.

Answer 2

Esta es una respuesta más teórica. Consideremos los conjuntos: $$B_j^i := \{f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}:f(i) \neq j\}.$$

Dejemos que $A_j^i = \{i\} \cup B_j^i$ , donde $i \in \mathbb{N}$ . Entonces $A = \mathbb{N}$ ya que cualquier función debe ser eliminada del LHS. Ahora, mira el lado derecho. Si fuera $A$ entonces cada una de las intersecciones en el reordenamiento debe contener $i \in \mathbb{N}$ y por eso, en particular, tenemos que tener algún $j$ con $i \in A_{k(i,j)}^{l(i,j)}.$ Que este $j$ se denotará $p(i)$ . Así que $i = l(i,p(i))$ . (Dado que sólo los conjuntos con índice superior $i$ contienen $i$ .) Ahora dejemos que $f$ sea cualquier función que satisfaga $f(i) \neq k(i,p(i))$ para todos $i$ .entonces $f \in A_{k(i,p(i))}^{i} = A_{k(i,p(i))}^{l(i,p(i))}$ . Así que esto $f$ se encuentra en el RHS.