Problema (quizás trivial) con la aproximación de la fracción continua a las soluciones de Pell (generalizadas)

Question

He visto algunas preguntas y respuestas aquí que arrojan luz sobre el enfoque de las fracciones continuas para encontrar soluciones para la ecuación de Pell. Estoy tratando de familiarizarme con este método para aplicarlo a mi estilo de ecuaciones de Pell generalizadas $$ a^2 + b^2 = D \cdot c^2 \qquad \qquad \text{always with }D=u^2+v^2 \tag 1$$
Para muchas de las combinaciones de $(u,v)$ a mi entender basta con obtener el conjunto correcto de soluciones a partir de los convergentes de la cont.frac, de $\sqrt D$ pero algunas combinaciones dan problemas, y aunque la búsqueda por fuerza bruta da soluciones, mi búsqueda de cont.-frac. no da nada.

Los casos problemáticos parecen ser aquellos en los que $u=v$ .
Comienzo con el ansatz $a=u$ y, por lo tanto, buscar soluciones de (eq 1) con los parámetros constantes $(u,v)$ utilizado para algún conjunto de soluciones $$u^2 + b^2 = (u^2+v^2) \cdot c^2 \qquad \text{solving for integer $ b $ and $ c $} \tag 2 $$ (Por supuesto, ignoro los casos en los que $(u,v)$ forman parte de un triple pitagórico) Por ejemplo, con $(u,v)=(2,2)$ Obtengo los convergentes c.f. para $\sqrt D$

  2  3  14  17  82  99  478  577
  1  1   5   6  29  35  169  204

y las soluciones de la (eq.2) $$\small \begin{array} {rrr|r} a& b& c& \text{iteration-height} \\ \hline 2 & 2 & 1 & 0.0 \\ 2 & 14 & 5 & 1.00000000000 \\ 2 & 82 & 29 & 2.00000000000 \\ 2 & 478 & 169 & 3.00000000000 \\ 2 & 2786 & 985 & 4.00000000000 \\ 2 & 16238 & 5741 & 5.00000000000 \\ 2 & 94642 & 33461 & 6.00000000000 \\ 2 & 551614 & 195025 & 7.00000000000 \end{array}$$ (aquí "altura de iteración" es el exponente al que tengo que llevar la potencia de la matriz de iteración para llegar a la solución dada en la fila).
Vemos que los valores en $(b,c)$ se puede encontrar en los convergentes c.f. anteriores.
Esto funcionó para todas las combinaciones probadas (pequeñas) de $(u,v)$ hasta que, de repente, sólo el pequeño parámetro problemático $(u,v)=(3,3)$ se rompe. Los convergentes c.f. son

  4  17  140  577  4756  19601  161564  665857
  1   4   33  136  1121   4620   38081  156944

La lista de soluciones para (eq.2) encontradas por fuerza bruta es $$\small \begin{array} {rrr|r} a& b& c& \text{iteration-height} \\ \hline 3 & 3 & 1 & 0.0 \\ 3 & 21 & 5 & 0.500000 \\ 3 & 123 & 29 & 1.00000 \\ 3 & 717 & 169 & 1.50000 \\ 3 & 4179 & 985 & 2.00000 \\ 3 & 24357 & 5741 & 2.50000 \\ 3 & 141963 & 33461 & 3.00000 \\ 3 & 827421 & 195025 & 3.50000 \\ 3 & 4822563 & 1136689 & 4.00000 \end{array} $$ pero no veo ninguna relación con los convergentes de la fracción continua de $\sqrt D$ ... (La existencia de valores medio enteros en las alturas de iteración indican que en realidad tenemos 2 listas separadas de soluciones y no importan mucho aquí) .

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Actualización
Acabo de encontrar la relación a utilizando los convergentes generalizados. Utilizando (en mi notación) los "cvgts genéricos superiores" que se presentan como lista:

***                                ***                                           ***                                                        ***
  4  21  38  55  72  89  106  123  140  717  1294  1871  2448  3025  3602  4179  4756  24357  43958  63559  83160  102761  122362  141963  161564  827421  1493278  2159135  2824992  3490849  4156706  4822563
  1   5   9  13  17  21   25   29   33  169   305   441   577   713   849   985  1121   5741  10361  14981  19601   24221   28841   33461   38081  195025   351969   508913   665857   822801   979745  1136689
     *                         *         *                                   *           *                                            *              *                                                    *

Aquí las entradas marcadas con *** son convergentes verdaderos, y las entradas marcadas con * las soluciones encontradas por fuerza bruta. fin de la actualización

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Un ejemplo más que está funcionando: $(u,v)=(3,7), D=58$ .
Los primeros convergentes c.f:

  7  8  15  23  38  61  99  1447  1546  2993  4539  7532  12071  19603  286513  306116
  1  1   2   3   5   8  13   190   203   393   596   989   1585   2574   37621   40195

Las primeras soluciones, $$ \small \begin{array} {rrr|r} a& b& c& \text{iteration-height} \\ \hline 3 & 7 & 1 & 0.0 \\ 3 & 297 & 39 & 0.350284 \\ 3 & 12071 & 1585 & 0.700567 \\ 3 & 286513 & 37621 & 1.00000 \\ 3 & 11644479 & 1528995 & 1.35028 \\ 3 & 473255633 & 62141509 & 1.70057 \\ 3 & 11233028671 & 1474968925 & 2.00000 \\ 3 & 456533443377 & 59945777931 & 2.35028 \end{array} $$ Algunas soluciones se encuentran suponiendo que tienen factor común $a=u=3$ y múltiplos de $3$ en los convergentes se prueban (por ejemplo $(279,39) = 3\cdot (99,13)$ ).
(De nuevo, las alturas de iteración fraccionarias indican que tenemos tres subsecuencias de soluciones entrelazadas)

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El problema parece ocurrir con todos los casos $(u,v)$ con $u=v$ excepto en el caso de $u=v \in [2,5,25,???]$

P: ¿Hay alguna razón (posiblemente obvia) para este comportamiento inconveniente y algún remedio?

Answer 1

El problema de encontrar las secuencias de soluciones para los "casos problemáticos" -en mi pregunta enfocada a casos de $u^2+v^2=D$ y $u=v$ tal que $D=2u^2$ - parece ser intratable con las herramientas mostradas hasta ahora.

Con la ayuda de la heurística podemos encontrar algún esquema sugerente que al menos reduzca la complejidad.
Por supuesto, para la combinación $(u,v)=(u,u), D=2 u^2$ y las "llaves" $[a,b_k,c_k]=[u,b_k,c_k]$ con $u^2+b^2 = D c^2= 2 u^2 c^2$ encontramos, utilizando la fuerza bruta, algunas soluciones en números pequeños. La primera es, por supuesto, trivial; debemos tener una primera solución como $[a,b,c]=[u,u,1]$ y sólo necesita una segunda para generar una matriz de transferencia inicial $T$ que permite entonces crear la secuencia de soluciones por $[u,u,1] \cdot T^k$ .
La heurística dio un esquema simple para calcular $T$ directamente del valor $u$ : $$ \begin{matrix}T_u=\begin{bmatrix}1 & .& .\\. & 3& \frac2u\\. & 4 u& 3 \end{bmatrix} & \to & R_u=\begin{bmatrix} 3& \frac2u\\ 4 u& 3 \end{bmatrix} \end{matrix} \tag 1$$ A continuación reduzco la notación a la $2x2$ -matriz $R_u$ que contiene sólo la parte no trivial de $T_u$ : $R_u=T_u[2..3,2..3]$ Por lo tanto, tener una clave inicial $[u,1]$ podemos construir todas las demás soluciones mediante $$[b_k,c_k] = [u,1] \cdot R_u^k \tag 2$$ Ahora, por suposiciones básicas, no permitimos que las matrices de transferencia $R_u$ con valores fraccionarios. Pero, de nuevo heurísticamente, encontramos que cada $u$ -produce un $R_u$ con entradas fraccionarias, pero cuya $ex$ 'th-power da una matriz entera: $$ R_u ^{ex_u} = S_u \qquad \text{ having $ ex_u $ such that $ S_u $ is an integer matrix} \tag 3$$

Este es un patrón que da resultados consistentes (lo que significa: soluciones de la ecuación de Pell generalizada asociada) sin referirse a muy probable intratable composiciones de convergentes generalizados de la fracción continua para $\sqrt D$ .

Sin embargo, todavía no tengo una fórmula analítica para los resultados involucrados, sino un patrón que emerge y ayuda a reducir el espacio de búsqueda de soluciones.

Aquí hay un subconjunto de soluciones que obtuve por heurística. Las matrices $R_u$ se crean siguiendo mi heurística mencionada.
Para $u=v=2$ tenemos

u=2 D=   8 ex=1   R=[3, 1; 8, 3]        S=R^ex=[3, 1; 8, 3]

Nota: la anotación de la matriz es la de Pari/GP, lo que significa que un ";" indica el comienzo de una nueva fila.

para $u=v \in [2,3,4,6,12]$ tenemos

 2 D=   8 ex=1   R=[3, 2/ 2;   8, 3]   S=R^ex=[3, 1; 8, 3]
 -----------------------------------------------------------------
 3 D=  18 ex=2   R=[3, 2/ 3;  12, 3]   S=R^ex=[17, 4; 72, 17]
 4 D=  32 ex=2   R=[3, 2/ 4;  16, 3]   S=R^ex=[17, 3; 96, 17]
 6 D=  72 ex=2   R=[3, 2/ 6;  24, 3]   S=R^ex=[17, 2; 144, 17]
12 D= 288 ex=2   R=[3, 2/12;  48, 3]   S=R^ex=[17, 1; 288, 17]
=========================================================================

para $u=v \in [2,5,7,10,14,35,70]$ tenemos

 2 D=   8 ex=1   R=[3, 1; 8, 3]        S=R^ex=[3, 1; 8, 3]
-----------------------------
 5 D=  50 ex=3   R=[3, 2/ 5;  20, 3]   S=R^ex=[99, 14; 700, 99]      --> krit=5*14=70
 7 D=  98 ex=3   R=[3, 2/ 7;  28, 3]   S=R^ex=[99, 10; 980, 99]
10 D= 200 ex=3   R=[3, 2/10;  40, 3]   S=R^ex=[99, 7; 1400, 99]
14 D= 392 ex=3   R=[3, 2/14;  56, 3]   S=R^ex=[99, 5; 1960, 99]
35 D=2450 ex=3   R=[3, 2/35; 140, 3]   S=R^ex=[99, 2; 4900, 99]
70 D=9800 ex=3   R=[3, 1/35; 280, 3]   S=R^ex=[99, 1; 9800, 99]
=========================================================================

Aquí encontramos el patrón, que después de haber encontrado heurísticamente el $ex$ para $u=v=5$ podemos concluir inmediatamente las transferencias para todo lo que $u$ que son divisores de $5 \cdot 14$ donde $14$ es la entrada $S[1,2]$ y tenemos por todo eso $u$ un producto constante de $u \cdot S[1,2]$

El siguiente bloque para la ilustración es más largo, pero no voy a continuar que más. Encontramos (para $u \in $ divisores de $408 = 8 \cdot 3 \cdot 17$ ) para $ex=4$

  2 D=   8 ex=1   R=[3, 1; 8, 3]        T2^ex=[3, 1; 8, 3]
-----------------------------
  3 D=  18   ex=2   R=[3, 2/ 3;  12, 3]    S=R^ex=[17, 4;  72, 17]
  4 D=  32   ex=2   R=[3, 2/ 4;  16, 3]    S=R^ex=[17, 3;  96, 17]
  6 D=  72   ex=2   R=[3, 2/ 6;  24, 3]    S=R^ex=[17, 2; 144, 17]
 12 D= 288   ex=2   R=[3, 2/12;  48, 3]    S=R^ex=[17, 1; 288, 17]
-----------------------------
  8 D= 128   ex=4   R=[3, 2/ 8;   32, 3]   S=R^ex=[577, 51;  6528, 577]   --> krit=8*51=8*3*17=408
 17 D= 578   ex=4   R=[3, 2/17;   68, 3]   S=R^ex=[577, 24; 13872, 577]
 24 D=1152   ex=4   R=[3, 1/12;   96, 3]   S=R^ex=[577, 17; 19584, 577]
 34 D=2312   ex=4   R=[3, 1/17;  136, 3]   S=R^ex=[577, 12; 27744, 577]
 51 D=5202   ex=4   R=[3, 2/51;  204, 3]   S=R^ex=[577, 8;  41616, 577]
 68 D=9248   ex=4   R=[3, 1/34;  272, 3]   S=R^ex=[577, 6;  55488, 577]
102 D=20808  ex=4   R=[3, 1/51;  408, 3]   S=R^ex=[577, 4;  83232, 577]
136 D=36992  ex=4   R=[3, 1/68;  544, 3]   S=R^ex=[577, 3; 110976, 577]
204 D=83232  ex=4   R=[3, 1/102; 816, 3]   S=R^ex=[577, 2; 166464, 577]
408 D=...    ex=4   R=[3, 1/204;1632, 3]   S=R^ex=[577, 1; 332928, 577]
=========================================================================

Se trata de un patrón interesante y no demasiado complejo. Desgraciadamente todavía no permite determinar las secuencias de soluciones para algún par $(u,v=u)$ para ese tipo de ecuaciones Pell generalizadas que se consideran aquí sin búsqueda heurística.

Así que la cuestión sigue sin resolverse, y espero que alguien intervenga y tenga posiblemente una idea más productiva...