Lema técnico sobre los sistemas de raíces, reducido al álgebra lineal

Question

Actualización: He publicado el caso de $G = SL(n)$ como una pregunta diferente aquí .

Este es un lema técnico en el que estoy atascado. Cualquier sugerencia sobre cómo proceder será bienvenida.

Dejemos que $G$ sea un grupo semisimple dividido sobre un campo numérico. Sea $B, T$ sea una parabólica mínima elegida, toro respectivamente, y $\theta$ sea un automorfismo de $G$ de orden finito, preservando $B$ y $T$ . Por la teoría de grupos algebraicos, podemos asociar a $(G, B, T)$ , un dato raíz $(X^*, \Delta, X_*, \Delta^\vee )$ , donde $X^*$ (resp. $X_*$ ) es el entramado de caracteres (cocaracteres) y $\Delta$ (resp. $\Delta^\vee$ ) las raíces simples (coroots). El grupo de Weyl $W$ actúa sobre el espacio raíz $V^* = X^* \otimes \mathbb R$ y el espacio de la co-raíz $V_*$ como siempre y la acción de $\theta$ desciende a una permutación de los conjuntos finitos $\Delta, \Delta^\vee$ . Para cada $\beta \in \Delta$ , dejemos que $\varpi_\beta \in \hat\Delta$ sea el peso correspondiente para que $\hat\Delta$ es una base de $V^*$ doble a $\Delta$ .

Pregunta: Arreglar $w \in W, w \neq 1$ . ¿Existe un cono $\Omega$ dentro de la cámara de Weyl positiva de $V^*$ de manera que si $\lambda \in \Omega$ y $\lambda - \theta w \lambda = \displaystyle\sum_{\beta \in \Delta} {d_\beta} \beta$ entonces $d_\beta > 0$ ?

(Edición: Para aclarar, por cámara de Weyl positiva, me refiero a un tramo positivo de pesos, no a raíces).

Esto no es cierto en sí mismo, pero me gustaría que las coordenadas $d_\beta$ positivo sólo en algunas direcciones: Sea $Q(w)$ sea la norma más pequeña (es decir, que contenga $B$ ) que contiene un representante de $w$ . Por una correspondencia entre subgrupos parabólicos estándar y subconjuntos de $\Delta$ tenemos el subconjunto $\Delta^{Q(w)}$ de $\Delta = \Delta^G$ correspondiente a $Q(w)$ . Necesito $d_\beta>0$ siempre que $\beta \in \Delta^{Q(w)}$ .

Ejemplo: Dejemos que $G = SL(n)$ con los habituales Borel y Torus y dejemos que $\theta(x) = {}^Tx^{-1}$ . Podemos identificar $V^*$ con el subespacio de $\mathbb R^n$ de vectores con coordenadas que suman cero para que $\Delta = \{ \beta_1 = (1, -1, 0, \cdots, 0), \cdots, \beta_{n-1} \}$ y $\{ \varpi_\beta \in \hat\Delta\}$ es la base dual (de pesos). Tenemos $\theta(\beta_i) = \beta_{n-i}$ . En el caso de $SL(3)$ tomando $\lambda = c_1 \varpi_1+ c_2 \varpi_2$ y $w$ para ser la permutación $(1,2)$ da $$ \lambda - \theta w\lambda = \left(\frac{c_1 - c_2}{3}\right)\beta_1 + \left(\frac{2c_1 + c_2}{3}\right)\beta_2 $$ por lo que podemos definir el cono como $c_1 > c_2 > 0$ . He escrito un código Python y he verificado esto hasta $SL(7)$ pero sin poder probar hasta ahora para general $G$ .

EDITAR: Cuando $\theta = 1$ podemos tomar $\Omega$ para ser la cámara de Weyl positiva completa; véase Bourbaki's Lie Groups and Lie Algebras Chapter 6 $\S 1.5$ (Edición: 1.6, no 1.5) Proposición 18 para una prueba basada en la inducción sobre $\ell(w)$ .

EDITAR': Estoy elaborando el caso $\theta = 1$ . Fijar una raíz $\gamma \in \Delta^{Q(w)}$ y $\lambda$ en la cámara de Weyl positiva. El coeficiente de $\gamma$ en $\lambda - w \lambda$ viene dada por $\langle \lambda - w \lambda, \varpi_\gamma^\vee \rangle = \langle \lambda, (1 - w^{-1}) \varpi_\gamma^\vee \rangle$ y por el citado lema de Bourbaki, el vector $(1 - w^{-1}) \varpi_\gamma^\vee$ es una combinación no negativa de co-raíces.

Answer 1

Tal vez sea útil añadir un comentario más largo, en formato de comunidad-wiki. La pregunta original no está bien formulada, creo, como demuestran los enrevesados comentarios posteriores sobre el caso $\theta =1$ . Probablemente sea mejor seguir aquí a Bourbaki (capítulo VI), ya que el problema esencial se refiere sólo a un sistema de raíces irreducibles en un espacio vectorial $V$ teniendo como base una elección fija de raíces simples. Esta elección determina entonces una partición del complemento en $V$ de paredes reflectantes para las distintas raíces en Cámaras de Weyl . Uno de ellos (llámese $C$ ) es la cámara de Weyl dominante (llamada "positiva" en la pregunta) definida por $\langle \lambda, \alpha_i^\vee \rangle >0$ para todos los simples $\alpha_i$ con $\lambda \in V$ . Su cierre $\overline{C}$ es entonces un dominio fundamental para la acción del grupo de Weyl $W$ .

Los pesos fundamentales $\varpi_i$ yacen en las paredes de $C$ y están en ángulo agudo (o recto). Por otro lado, las raíces simples $\alpha_i$ están en ángulos obtusos (o rectos) y determinan un "cono de raíz positiva" (llámese $D$ ) consistente en combinaciones lineales positivas de raíces simples. Entonces $D$ contiene $C$ porque cada $\varpi_i$ es un positivo $\mathbb{Q}$ -combinación lineal de los $\alpha_i$ . Pero $D$ suele ser mayor que $C$ .

Se nos da un automorfismo $\theta$ del diagrama de Dynkin, por ejemplo el de orden 2 para el tipo $A_\ell$ cuando $\ell \geq 2$ (procedente de $\mathrm{SL}_{\ell+1}$ ) que cambia $\alpha_i$ y $\alpha_{\ell-i+1}$ . La cuestión se refiere entonces a $(*) \:\lambda - \theta w \lambda$ para un fijo $w \in W$ y cualquier peso dominante $\lambda$ (digamos en $\overline{C}$ ). La proposición 18 de Bourbaki dice para $\theta =1$ que $\lambda - w \lambda$ se encuentra en $\overline{D}$ pero, por supuesto, normalmente no en $\overline{C}$ .

Primera escritura $\lambda$ como $\mathbb{Z}^+$ -combinación lineal de los $\varpi_i$ , digamos que con coeficientes $c_i$ . Entonces $(*)$ es un $\mathbb{Q}$ -combinación lineal de raíces simples. Tal vez la pregunta prevista para la arbitrariedad $\theta$ es si hay un cono dentro del $\mathbb{Q^+}$ -span de $D$ (o $\overline{D}$ ) formado por aquellos elementos $(*)$ definida por las condiciones de la $c_i$ como los del ejemplo. (Puede darse un denominador fijo, procedente del índice de la red de raíces en la red de pesos). Por supuesto, el cono no tiene por qué estar en $\overline{C}$ como muestra el caso $\theta =1$ . De todos modos, la versión que he expuesto parece probable que tenga una respuesta positiva, pero no sé cómo probarla.