Cómo demostrar que si $f*\chi_A=0$ a.e. para todos $A$ de medida finita entonces $f=0$ a.e.

Question

Dejemos que $G$ un grupo abeliano localmente compacto y sea $\mu_G$ una medida Haar de $G$ . Supongamos que $f\in L^1(\mu_G)$ es tal que para todos los medibles $A$ de finito $\mu_G$ -Medida que sucede que $f*\chi_A=0$ $\mu_G$ -a.e. Quiero demostrar que $f=0$ $\mu_G$ -a.e.

En $(\mathbb{R}^n,+)$ Procedería a tomar $B_r$ como la bola centrada en el origen de radio $r>0$ y luego usar el teorema de diferenciación de Lebesgue para obtenerlo: $$0=\frac{1}{|B_r|}f*\chi_{B_r}\rightarrow f, r\rightarrow0 \ a.e.$$

Sin embargo, por ejemplo, en $(\mathbb{Z},+)$ no tenemos a nuestra disposición el teorema de diferenciación de Lebesgue, pero aquí el resultado puede demostrarse limpiamente convolucionando con la función indicadora de $\{0\}$ .

Entonces, ¿cómo puedo demostrar el resultado en general? ¿Debo tratar de descomponer el grupo como un producto $G=G_1\times G_2$ donde $G_1$ y $\hat{G_2}$ son discretos (si es que se puede realizar dicha descomposición) y tratar de utilizar una técnica que mezcle las dos estrategias anteriores (si es que se puede aplicar dicha estrategia mixta), o hay otro camino más sencillo (quizá obvio)?

Answer 1

Tomando las transformadas de Fourier, obtenemos $\hat{f} \hat{ \chi_A } = 0$ para todos $A$ de medida finita. En particular, $\int \hat{f} \hat{\chi_A} d\mu = 0$ . Es decir, en el $L^2(G^*)$ producto interior, $\hat{f}$ es ortogonal a todas las $\hat{\chi_A}$ .

Ahora bien, como el lapso de la $\chi_A$ son un conjunto denso en $L^2(G)$ se deduce que sus transformadas de Fourier son densas en $L^2(G^*)$ .

Así, $\hat{f}$ es ortogonal a toda función en $L^2(G^*)$ . En particular, es ortogonal a todas las funciones de la forma $1_K \hat{f}$ , donde $K$ es un subconjunto compacto de $G^*$ . Esto implica que $\hat{f} = 0$ .

Así, $f = 0$ , por $L^1$ Inversión de Fourier.

(No he comprobado ningún detalle, puede haber sutilezas que se me escapen).