Dejar $a,b,c,d\ge 0$ y $a^2+b^2+c^2+d^2=3$ demostrar que
$ab+ac+ad+bc+bd+cd\le a+b+c+d+2abcd$
Me parece que esta desigualdad es la misma que el problema de Crux 3059.
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Gabe Faggiano
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Puede encontrar algunos intentos de solución para el problema 3059 en línea. Por ejemplo, ver aquí o aquí . Su problema es sólo ligeramente diferente, por lo que las mismas técnicas de solución pueden funcionar también.
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Intente optimizar $a+b+c+d+2abcd-ab-ac-ad-bc-bd-cd$ sobre la región que has descrito (que es una sección de una 3-esfera en $\mathbb{R}^4$ .) Si demuestras que el valor más pequeño de esta cantidad es al menos $0$ , entonces su desigualdad sigue. Los multiplicadores de Lagrange parecen una buena herramienta para esta cantidad y esta restricción.
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Le di a este Crux3059 problema methos, Pero lo fracaso.
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La condición de igualdad de Crux 3059 es a=b=c=d. Este problema, la condición de igualdad no es a=b=c=d, la solución Crux 3059 no se puede aplicar
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Estoy de acuerdo con Alex Jordan.
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El método de los multiplicadores de Lagrange parece conducir a un sistema de ecuaciones polinómicas en cuatro variables sin ninguna estructura evidente :(
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He leído la solución del problema de Crux3059 enlazada arriba, y tengo dudas en su utilidad para el problema actual. Esta solución comienza con la sustitución consecutiva del par de variables por la raíz cuadrada de la media de sus cuadrados. Pero no podemos reemplazar el par de variables, porque tenemos un sumando adicional $(a+b+c+d)$ .
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@CommonerG La técnica del enlace no funciona en este problema.