Interpolación entre $L^1$ y $L^2$ espacios

Question

Me preguntaba si la siguiente interpolación entre $L^1$ y $L^2$ espacios es cierto:

Dejemos que $f \in \mathbb{R}^n$ sea tal que

$$ \alpha_1:= \int_{\mathbb{R}} \left\lVert f(x_1,\cdot,....\cdot) \right\rVert_{L^2(\mathbb{R}^{n-1})} dx_1$$

hasta

$$ \alpha_n:= \int_{\mathbb{R}} \left\lVert f(\cdot,\cdot,....,x_n) \right\rVert_{L^2(\mathbb{R}^{n-1})} dx_n$$ son finitos.

¿Esto nos da un límite superior para el $L^1$ norma de $f$ en el sentido de que

$$ \int_{\mathbb{R}^n} \left\lvert f(x) \right\rvert dx \le \alpha_1 + ...+ \alpha_n?$$

Answer 1

Sí para $n = 1$ y no para $n \geq 2$ . En efecto, si tuviéramos una desigualdad $||f||_1 \leq C(\alpha_1 + \dots + \alpha_n)$ entonces podríamos establecer $f = \mathbb{1}_{[0,K]^n}$ y obtener

$$ K^n \leq C n K^{\frac{n+1}{2}}, $$ y obtenemos $n \leq 1$ dejando $K$ tienden al infinito.