¿Cuándo la derivada distributiva es una función?

Question

Dejemos que $u \in D'(\mathbb{R})$ sea una distribución y supongamos que su derivada distributiva $u'$ puede identificarse con un $L^1_{\mathrm{loc}}$ función. ¿Puede la distribución $u$ también se identifica con un $L^1_{\mathrm{loc}}$ ¿función?

Dicho de otro modo, si $u$ es una distribución que no es una función, ¿puede su derivada distributiva ser una función?

Answer 1

Sí, es cierto, $u$ puede identificarse con una función absolutamente continua.

Dejemos que $v(x) = \int_0^x u'(y)\,dy$ donde la integral tiene sentido cuando tratamos $u'$ como una función localmente integrable. Entonces por el teorema fundamental del cálculo para integrales de Lebesgue, $v$ es absolutamente continua y $v' = u'$ casi en todas partes. Desde $v'$ es también la derivada distributiva de $v$ tenemos que la distribución $u-v$ satisface $(u-v)'=0$ . Esto implica que $u-v$ es una constante $c$ , por lo que tenemos $u=v+c$ como distribuciones.