Demuestre que si $f:M\to\mathbb{R}$ es continua, $a\in\mathbb{R}$ , $\{x:f(x)<a\}$ es un conjunto abierto en $M$ .

Question

Ejercicio: Consideremos los dos espacios métricos $(M,d)$ y $(\mathbb{R},\rho)$ . Demuestre que si $f:M\to\mathbb{R}$ es continua, $a\in\mathbb{R}$ , $\{x:f(x)<a\}$ es un conjunto abierto en $M$ .

Mi solución: Queremos demostrar que $\forall x\in\{x:f(x)<a\},\exists\delta>0$ tal que $B_\delta(x)\subset\{x:f(x)<a\}$ . Desde $f$ es continua sabemos que $\forall \epsilon>0$ , $\exists\delta>0$ tal que $\rho(f(x),f(y))<\epsilon$ siempre que $d(x,y)<\delta$ . Supongamos que elegimos un $x_0\in\{x:f(x) < a\}$ . Así que si elegimos $\epsilon = \left| f(x_0) - a\right|$ sabemos que existe un $\delta>0$ tal que $\rho(f(x_0), f(y))<\left| f(x_0) - a\right|$ siempre que $d(x_0,y)<\delta$ . Desde $f(y) < a$ si $\rho(f(x_0),f(y))<\left|f(x_0) - a\right|$ tenemos que $B_\delta(x_0)\subset \{x:f(x)<a\}.$ Desde $x_0$ se eligió de forma arbitraria esto es válido para todos los $x\in\{x:f(x) <a\}$ .

Pregunta: ¿Es correcta esta solución? Me siento especialmente incómodo con la conclusión: $f(y) < a$ si $\rho(f(x_0),f(y))<\left|f(x_0) - a\right|$ .

Editar: Si este resultado es correcto, ¿es también correcto decir que si $\{x:f(x)<a\}$ está abierto $f$ es continua porque para cada $\epsilon >0$ existe un $\delta >0$ tal que $\rho(f(x),f(y))<\epsilon$ siempre que $d(x,y)<\delta$ ? (Basado en la definición de la bola abierta en $\{x:f(x)<a\}$ que utilicé arriba)

Gracias.

Answer 1

Observe que $\{x:f(x)<a\}=f^{-1}(-\infty,a)$ .

Como f es continua y $(-\infty,a)$ se abre en $\mathbb{R}$ tenemos que $\{x:f(x)<a\}=f^{-1}(-\infty,a)$ también se abre.

Answer 2

Su solución es correcta. Observe que $\rho(y,z) = |y-z|$ por definición, por lo que el punto que te desconcierta puede pensarse de la siguiente manera. Si usted tuviera $f(y) \ge a$ entonces

$$ |f(y)-f(x_0)| = |f(y)-a+a-f(x_0)| = |f(y)-a| + |a-f(x_0)| \ge \varepsilon$$

lo cual es una contradicción con la suposición.

Answer 3

Suponiendo que $\rho$ es la métrica estándar en $\Bbb R$ Entonces su idea es correcta, y la mayor parte de su ejecución es buena. Hubiera preferido un poco más de saltos de línea para que tu prueba no sea un solo bloque de texto, pero eso es sólo estética.

Tu punto incómodo se puede reformular así: Si $f(x_0)<a$ y $f(y)$ está más cerca de $f(x_0)$ que $a$ es, entonces es $f(y)<a$ ? Esta es una simple aplicación de la desigualdad de triángulo y muy cierta.

En cuanto a tu edición, no, no es cierto. La función del suelo como una función de $\Bbb R$ a $\Bbb R$ tiene esta propiedad pero no es continua.