¿Es un grupo cíclico con sus generadores

Question

Un grupo (S, $\odot$ ) se llama cíclica si existe g $\in$ S tal que para cada a $\in$ S existe un número entero n tal que a = g $\odot$ g ... $\odot$ g (n veces). Si tal g $\in$ S existe, se llama generador.

¿Es el grupo $\mathbb{Z}^{*}_{13}$ = {1, 2 ... 11, 12} junto con la multiplicación módulo 13 entonces cíclico? No puedo encontrar los generadores

Answer 1

Sin conocimientos de teoría de los números, lo único que puedes hacer es probar varios números. Obviamente, $1$ no funciona. Así que prueba $2$ . Tenemos suerte, $2$ funciona. Pues encontremos los distintos poderes positivos de $2$ , reducido en el módulo $13$ . Obtenemos, en orden, $$2,4,8,3,6,12,11,9,5,10,7,1.$$

Observación: Hay otros generadores, un total de $4$ de ellos. Resulta que son $2^1$ , $2^5$ , $2^7$ y $2^{11}$ (modulo $13$ ).

En esta fase inicial, si quiere todo los generadores, es mejor calcular. Probemos $3$ . Las distintas potencias, modulo $13$ son $3$ , $9$ , $1$ y ahora todo vuelve a empezar, así que seguramente no lo conseguiremos todo.

A continuación vamos a intentar $4$ . Los poderes de $4$ serán las potencias pares de $2$ para que podamos recordar el trabajo que hicimos con $2$ y ver que sólo obtendremos $4$ , $3$ , $12$ , $9$ , $10$ y $1$ .

Quedan bastantes. Intentemos $5$ . Resulta que $5$ no es bueno, porque $5^4$ da $1$ . Continúa.

Answer 2

Intenta determinar el orden de cada elemento. Si no hay ningún elemento de orden 12, el grupo no es cíclico.

Answer 3

Es cíclico. Puede tomar por ejemplo $2$ como generador: $$1=2^{11},2=2^1,3=2^4,4=2^2,5=2^8,6=2^5$$ $$7=2^{10},8=2^3,9=2^7,10=2^9,11,12=2^6$$ De hecho $\mathbb{Z}_p^*$ es primo para cada primo $p$ .