¿Por qué L es invertible en la factorización LU, y por qué la forma Echelon reducida de $U$ matriz de identidad cuando $A$ ¿es invertible?

Question

Supongamos que existe una matriz $A$ .

Entonces $A$ se factoriza en $A = LU$ forma.

¿Por qué es $L$ ¿siempre es invertible? (o cuando es $L$ invertible).

Además, ¿por qué la forma Echelon reducida de $U$ matriz de identidad cuando $A$ ¿es invertible?

Answer 1

$L$ es invertible porque está formada como un producto de matrices elementales que son a su vez invertibles.

Si $A$ es invertible entonces piensa en la ecuación $A=LU$ . ¿Es posible que $U$ para ser no invertible? No estoy seguro de con qué tienes que trabajar, si tienes determinantes es sencillo argumentar $det(U) \neq 0$ . O se podría argumentar por la unicidad de la ecuación homogénea $Ax=0$ si $x=0$ . Una vez que sepa $U$ es invertible se deduce que $rref(U)=I$ . Sin embargo, puede que esté poniendo el carro delante de los bueyes en su situación. El argumento que usted da debe utilizar sólo las herramientas que su curso ha descubierto hasta ahora.