Axioma para excluir los números naturales no estándar

Question

En la aritmética de Peano, el axioma de inducción establece que no existe ningún subconjunto propio de los números naturales que contenga el 0 y que esté cerrado bajo la función de sucesión. Con ello se pretende descartar la posibilidad de que existan otros números naturales además de los conocidos. No logra ese objetivo; queda la posibilidad de que existan otros números naturales y que los conocidos no formen un conjunto. En la Teoría Interna de Conjuntos (TSI), que es una extensión de ZFC que es consistente con ZFC, hay una distinción entre conjuntos estándar y no estándar, y se puede demostrar que

(1) 0 es estándar;

(2) si $n \in \mathbb{N}$ es estándar, entonces también lo es su sucesor;

(3) $\mathbb{N}$ tiene elementos no estándar.

El axioma de inducción no se viola porque los números naturales estándar no forman un conjunto.

¿Hay alguna forma de axiomatizar la teoría de conjuntos para que no puedan existir esos números naturales no estándar?

(Nota: esta pregunta no se refiere a modelos no estándar de aritmética. En IST, $\mathbb{N}$ es un conjunto estándar, y dentro de un modelo dado de IST, todos los modelos de aritmética Peano de segundo orden son isomorfos a $\mathbb{N}$ .)

Answer 1

Mientras se axiomatice la teoría de conjuntos en lógica de primer orden, la respuesta a tu pregunta es no. Los axiomas serían consistentes con cada subconjunto finito del siguiente conjunto de oraciones que implican un nuevo símbolo constante $c$ : " $c$ es un número natural" y " $c\neq n$ " para cada (nombre estándar de un) número natural $n$ . Por compacidad, habría un modelo de los axiomas más todas estas sentencias, y en ese modelo $c$ denotaría un número natural no estándar.

Por otro lado, si estás dispuesto a ir más allá de la lógica de primer orden, entonces la respuesta a tu pregunta es sí. Por ejemplo, en la lógica de segundo orden, se puede expresar el axioma de inducción como una sola frase y estar seguro de que "conjunto" significa realmente conjunto arbitrario (no "conjunto interno" ni nada parecido). En otras palabras, una vez que se está seguro de que "conjunto" tiene su significado previsto, el principio de inducción garantiza que "número natural" también tiene su significado previsto. (Para mí, esto no parece muy útil, ya que el significado previsto de "conjunto" parece más complicado que el significado previsto de "número natural").

Para otro ejemplo, si estás dispuesto a usar la lógica infinita, entonces puedes formular el axioma "todo número natural es igual a 0 o a 1 o a 2 o a 3, o ..."

Answer 2

Por el teorema de incompletitud de Gödel, no puede haber ningún axioma de este tipo en una teoría de primer orden recursivamente enumerable.

Se puede axiomatizar $\mathbb N$ añadiendo una regla de inferencia infinita, la regla de Hilbert $\omega$ -regla:

$$P(0)\wedge P(1) \wedge P(2) \wedge \cdots \over \forall n P(n)$$

a PA para cada predicado aritmético P. Esto dice que si el predicado P se cumple para cada uno de los números naturales (0,1,2...) entonces se puede deducir la fórmula $\forall n P(n)$ . El sistema resultante se llama ω-logic .

Evidentemente, se trata de una especie de "trampa", puesto que ya no se dispone de una teoría efectiva. Como ejemplo (quizá haya otros mejores) de cómo se puede utilizar, el artículo de Michael Rathjen "The Art of Ordinal Analysis" describe el uso del $\omega$ -para analizar teorías aritméticas cada vez más fuertes, y es bastante interesante.