Evaluación en una función compleja

Question

Sea f la rama de la función $ \sqrt {z^2 -4} $ definido por f(z)= $ \sqrt{r_1 r_2} e^{i \frac{ \theta_1 +\theta_2}{2} }$ donde $\ r_1=|z-2|,r_2=|z+2|, \theta_1=arg(z-2), \theta_2=arg(z+2) $ y $\frac{- \pi}{2}<\theta_1,\theta_2 \le \frac{3\pi}{2}$ . Tengo que demostrar que si y $ \in\Bbb R$ entonces f(yi)=- $ \sqrt {4+y^2 } $ .

Este es mi intento: Sabemos que z=x+yi y como tengo que evaluar f(yi) entonces x=0. Así que hago la sustitución en f(z)= $ \sqrt{r_1 r_2} e^{i \frac{ \theta_1 +\theta_2}{2} }$ y me sale

$ \sqrt {4+y^2 } e^{i\frac{arg(yi-2)+arg(yi_2)}{2}}$ Así que necesito esto $ \frac{arg(yi-2)+arg(yi_2)}{2}$ para que sea igual a $\pi$ . Por lo tanto, voy a obtener el resultado $f(yi)=- \sqrt {4+y^2 } $ .

Pero no sé cómo hacerlo :(

Por favor, que alguien me ayude.

Answer 1

Tenga en cuenta que $f(iy)\ne -\sqrt{y^2+4}$ para cualquier elección de corte de rama.

---

Dejemos que $f(z)=\sqrt{z^2-4}$ . El plano se corta de forma que $-\pi/2<\arg(z\pm 2)\le 3\pi/2$ para dar

$$f(z)=\sqrt{|z^2-4|}e^{i\frac12(\arg(z-2)+\arg(z+2))}$$

Observando que para $z=iy$ , $\arg(z-2)+\arg(z+2)=\pi$ para todos $y\in \mathbb{R}$ podemos escribir

$$\begin{align} f(iy)&=\sqrt{y^2+4}\,\,e^{i \frac{\pi}{2}}\\\\ &=i\sqrt{y^2+4}\\\\ \end{align}$$