@MayankJain @usuario,
No sé si el caso de $n=1$ es trivial, especialmente para alguien en una clase de trigonometría actualmente. Voy a ofrecer una prueba sin inducción utilizando la sustitución en su lugar. Mayank, para ver que este es el caso de $n=1$ Convierte el lado derecho de la ecuación de la siguiente manera:
$\dfrac{1}{2} \cdot \big{[}\dfrac{\sin 3x}{\cos 3x} - \dfrac{\sin x}{\cos x}]$ = (1) $\dfrac{1}{2} \cdot \big(\dfrac{\sin 3x \cos x - \cos 3x \sin x}{\cos 3x \cos x}\big{)} $ = (2) $ \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sin 2x}{\cos 3x \cos x}$ = (3) $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2\sin x \cos x}{\cos 3x \cos x}$ = $\dfrac{\sin x}{\cos 3x}$
Esto es bastante pesado en las identidades de trigonometría. Obtenemos la equivalencia (1) multiplicando la fracción, la equivalencia (2) porque $\sin(u - v) = \sin u \cos v - \cos u \sin v$ La equivalencia (3) se debe a que $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ y, por último, (4) por cancelación.
Ahora bien, si no estás familiarizado con la inducción, la sustitución te ayudará aquí como método alternativo. Como ahora puedes derivar la equivalencia para el caso "trivial", pon $3x = u$ para el segundo caso, y $9x = v$ para el tercero. Entonces ya sabes $\dfrac{\sin u}{\cos 3u} = \dfrac{1}{2} \cdot (\tan 3u - \tan u)$ y de forma similar, $\dfrac{\sin v}{\cos 3v} = \dfrac{1}{2} \cdot (\tan 3v - \tan v)$ . Así que ahora podemos reescribir la expresión original $\dfrac{\sin x}{\cos 3x} + \dfrac{\sin u}{\cos 3u} + \dfrac{\sin v}{\cos 3v}$ como $\dfrac{1}{2} \cdot (\tan(3x) - \tan x + \tan(9x) - \tan(3x) + \tan(27x) - \tan(9x))$ y todo se cancela excepto la expresión deseada: $\dfrac{1}{2} \cdot (\tan(27x) - \tan(x))$ .
