Simplificación de las segundas derivadas

Question

No logro entender cómo mi profesor simplificó esta segunda derivada. Cualquier ayuda es muy apreciada. Estoy teniendo problemas para simplificar las segundas derivadas de la mayoría de los problemas, así que las instrucciones paso a paso serían impresionantes.

Answer 1

De acuerdo. Déjame mover algunos términos:

$$\frac{(6x)(1-x^2)^2-3(-2x)(1+x^2)[2(1-x^2)]}{(1-x^2)^4}$$

En primer lugar, debe tener en cuenta que tiene $(1-x^2)$ en todas partes. Deshazte de él:

$$\frac{(6x)(1-x^2)-3(-2x)(1+x^2)[2]}{(1-x^2)^3}$$

Ahora tenga en cuenta que puede tener $6x$ en ambos términos en la parte superior:

$$\frac{(6x)(1-x^2)+(6x)(1+x^2)[2]}{(1-x^2)^3}$$

(Acaba de multiplicar el $-3$ por $-2x$ .)

Toma el $6x$ fuera:

$$\frac{(6x)((1-x^2)+(1+x^2)[2])}{(1-x^2)^3}$$

Simplificar el interior:

$$\frac{(6x)(1-x^2+2+2x^2)}{(1-x^2)^3}$$

Término común, $x^2$ y algunos números:

$$\frac{(6x)(3+x^2)}{(1-x^2)^3}$$

¡Y ahí está! La respuesta.

Answer 2

Observa que cada término del numerador tiene un factor común de $1-x^2$ así que anulando que te quedas con

$$\begin{align}\frac{(6x)(1-x^2)^2-3(1+x^2)(2)(1-x^2)(-2x)}{(1-x^2)^4} &= \frac{6x(1-x^2)-3(1+x^2)(2)(-2x)}{(1-x^2)^3} \\ &= \frac{6x(1-x^2)+12x(1+x^2)}{(1-x^2)^3} \\ &= \frac{6x-6x^3+12x+12x^3}{(1-x^2)^3} \\ &= \frac{18x+6x^3}{(1-x^2)^3} \\ &= \frac{6x(3+x^2)}{(1-x^2)^3}\end{align}$$