Ejemplo 9.7.1 en Hartshorne

Question

Dejemos que $f:X\to Y$ sea la normalización de una curva $Y$ con un nodo. Entonces este ejemplo 9.7.1 (libro de Hartshorne Geometría Algebraica) quiere mostrar $f$ no puede ser plana. Pero no entiendo el siguiente paso:

Si $f$ eran planos entonces $f_* \mathcal O_X$ sería una gavilla plana de $\mathcal O_Y$ módulos.

Entonces la Definición en la página 254 dice que esto significa, para cada punto $x\in X$ el anillo local $(f_*\mathcal O_{X})_x$ es un piso $O_{Y,f(x)}$ -módulo. (En realidad, la definición de gavilla plana no se señala en el libro, pero podemos definirla por analogía a la de la página 254) Por otra parte, la misma definición dice que la planitud de $f$ sólo puede implicar que $\mathcal O_{X,x}$ es un piso $\mathcal O_{Y,f(x)}$ -módulo a través de $f^\#: \mathcal O_{Y,f(x)}\to \mathcal O_{X,x}$ , ligeramente diferente de la anterior.

Answer 1

En general, los dos tallos que mencionas son diferentes.

Aquí tienes una suposición adicional: $f$ es un morfismo afín. Sea $V=\mbox{Spec}~A$ sea un conjunto abierto afín de $Y$ y $f^{-1}(V)=\mbox{Spec}~B$ , donde $B$ es el cierre integral de $A$ . Si $\mathfrak{p}$ representa $x$ y $\mathfrak{p}\cap A=\mathfrak{q}$ representa $y$ entonces

$\mathscr{O}_{X,x}\cong B_\mathfrak{p}$ , $(f_*\mathscr{O}_X)_{f(x)}\cong B\otimes A_\mathfrak{q}$ y $\mathscr{O}_{Y,y}\cong A_\mathfrak{q}$ .

Usted está preguntando si $B\otimes A_\mathfrak{q}$ es plana sobre $A_\mathfrak{q}$ .

Supongamos que $f$ es plana, es decir, $B_\mathfrak{p'}$ es plana sobre $A_\mathfrak{q'}$ (Aquí $\mathfrak{q'}=A\cap\mathfrak{p'}$ ) para cualquier $\mathfrak{p'}\in\mbox{Spec}~B$ . Esto equivale a que $B$ es plana sobre $A$ . Por lo tanto, $B\otimes A_\mathfrak{q}$ es plana sobre $A_\mathfrak{q}$ .