La composición de la función continua es continua

Question

Tengo un ejemplo, demostrar que la función y = |cosx| es continua.

Podemos hacer dos funciones, a saber, que g(x) = |x| f(x) = cosx

Como sabemos que |x| es una función continua y cosx también es una función continua. Por lo tanto, su composición también es continua.

es decir, gof = |cosx| también es continua.

¿Podría proporcionarme una prueba de ello? La composición de una función continua es también continua.

Gracias

Answer 1

Tome un subconjunto abierto $E$ de la línea real. Entonces $$(g\circ f)^{-1}(E)=f^{-1}(g^{-1}(E))=f^{-1}(D)=A$$ está abierto, donde $D=g^{-1}(E)$ es abierto por continuidad de $g$ y $A=f^{-1}(D)$ es abierto por continuidad de $f$ .

Answer 2

Dejemos que $f(x)=\cos(x)=u$ y $g(f(x))=g(u)=|u|$ . Para cualquier, $x_0$ definir $u_0=f(x_0)$ . Escoge $\epsilon>0$ entonces por definición de continuidad de $g$ en $u_0$ : $$\exists \delta_1>0 :|u-u_0|<\delta_1 \implies |g(u)-g(u_0)|<\epsilon$$ Por definición de continuidad de $f$ en $x_0$ : $$\exists \delta_2>0 :|x-x_0|<\delta_2 \implies |f(x)-f(x_0)|<\delta_1$$ Combinando las dos afirmaciones, obtenemos: $$\exists \delta_2>0 :|x-x_0|<\delta_2 \implies |f(x)-f(x_0)|<\delta_1 \implies |g(f(x))-g(f(x_0))|<\epsilon$$ Esta es la definición de $g\circ f$ continua en $x_0$ .

Answer 3

He aquí una demostración elemental de la siguiente afirmación sobre las funciones reales de una variable real.

Dejemos que $f$ y $g$ sean funciones con $g$ continua en $x_0$ y $f$ continua en $g(x_0)$ . Entonces $h=f\circ g$ es continua en $x_0$ .

Obsérvese que asumimos que $f$ se define en $g(x_0)$ .

Dejemos que $\varepsilon>0$ entonces por la continuidad de $f$ en $g(x_0)$ podemos encontrar $\varepsilon'>0$ tal que, para todo $y$ en el ámbito de $f$ con $|y-g(x_0)|<\varepsilon'$ tenemos $|f(y)-f(g(x_0)|<\varepsilon$ .

Por la continuidad de $g$ en $x_0$ existe $\delta>0$ tal que, para todo $x$ en el ámbito de $g$ con $|x-x_0|<\delta$ tenemos $|g(x)-g(x_0)|<\varepsilon'$ .

Ahora, toma $x$ en el ámbito de $f\circ g$ tal que $|x-x_0|<\delta$ . Entonces, por hipótesis, $|g(x)-g(x_0)|<\varepsilon'$ por lo que, por construcción de $\varepsilon'$ , $|f(g(x))-f(g(x_0))|<\varepsilon$ que es lo mismo que

$$|f\circ g(x)-f\circ g(x_0)|<\varepsilon$$

Por lo tanto, $f\circ g$ es continua en $x_0$ .