$C^0([a,b])\supsetneq D^1([a,b])\supsetneq C^1([a,b])\supsetneq D^2([a,b])\supsetneq C^2([a,b])\supsetneq\cdots$ .

Question

Estoy leyendo "Cálculo II" de Yukio Mimura (en japonés).

Dejemos que $C^n([a,b])$ sea un conjunto de funciones de $[a,b]$ a $\mathbb{R}$ que es de la clase $C^n$ .
Dejemos que $D^n([a,b]$ sea un conjunto de funciones de $[a,b]$ a $\mathbb{R}$ que tienen $n$ -a la derivada.

En este libro, el autor dice que $$C^0([a,b])\supsetneq D^1([a,b])\supsetneq C^1([a,b])\supsetneq D^2([a,b])\supsetneq C^2([a,b])\supsetneq\cdots$$ se mantiene obviamente.

No creo que esto sea obvio.

¿Son correctas las siguientes afirmaciones?

Dejemos que $g(x) = \begin{cases} x^2\sin(\frac{1}{x}) & (x\neq 0)\\ 0 & (x=0) \end{cases}.$
Dejemos que $f(x) := \overbrace{\int_{a}^{x}\dots\int_{a}^{x}}^{n-1} g(t-\frac{a+b}{2}) \overbrace{dt\dots dt}^{n-1}$ .
Entonces, $f \in D^n([a,b])$ pero $f\notin C^n([a,b])$ .

Dejemos que $f(x) := \overbrace{\int_{a}^{x}\dots\int_{a}^{x}}^{n} |t-\frac{a+b}{2}| \overbrace{dt\dots dt}^{n}$ .
Entonces, $f \in C^n([a,b])$ pero $f\notin D^{n+1}([a,b])$ .

Answer 1

Sí, sus ejemplos son correctos. Esta es la forma en que yo lo formalizaría.

Podemos asumir con seguridad que $a=-1$ y $b=1$ . En primer lugar, tenemos las inclusiones adecuadas $C^0([-1,1])\supsetneq D^1([-1,1])\supsetneq C^1([-1,1])$ En los ejemplos que usted da, de $|x|$ y $x^2\sin(1/x)$ .

Por el teorema fundamental del cálculo, la diferenciación proporciona biyecciones $C^{n+1}\to C^n\times\mathbb R$ , enviando $f\mapsto (f',f(0))$ y de forma similar para $D^{n+1}\to D^n\times\mathbb R$ . Mediante la aplicación repetida de estos isomorfismos, las inclusiones propias $C^0\supsetneq D^1\supsetneq C^1$ se traduce en inclusiones adecuadas $C^n\supsetneq D^{n+1}\supsetneq C^{n+1}$ que era lo que queríamos.