volúmenes por el problema de las cáscaras cilíndricas.

Question

Halla el volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje x la región encerrada por la curva $$x^2+(y-R)^2=r^2 (R>r>0)$$

Answer 1

Haz un dibujo. La región que está girando es un "círculo" (disco) de radio $r$ con centro en $(0,R)$ . El sólido que obtenemos es un toro (donut).

Tome una tira delgada a la altura $y$ de grosor " $dy$ ". Vamos a rotar dichas tiras sobre el $x$ -eje, y "sumando" (integrando).

Para evitar los signos menos, vamos a girar la parte de la tira que está en el primer cuadrante, y a duplicar la respuesta al final.

La anchura de la banda es entonces $x$ . Así que el medio toro tiene volumen $$\int_{y=R-r}^{R+r} 2\pi xy \,dy.$$ Para hacer la integración, necesitamos expresar $x$ en términos de $y$ . Desde $x^2+(y-R)^2=r^2$ obtenemos $x=\sqrt{r^2-(y-R)^2}$ .

Dejamos la integración en sus manos, pero le sugerimos encarecidamente que haga la sustitución $u=y-R$ .

Observación: Si está acostumbrado a utilizar el método de la concha para la rotación sobre el $y$ -eje, y no te gusta el cambio, puedes intercambiar los papeles de $x$ y $y$ , girando la región dentro de $(x-R)^2+y^2=r^2$ sobre el $y$ -eje.

Answer 2

Una pista:

$x^2+(y-R)^2=r^2$ . ¿Ves que la curva es una círculo .?

El centro se encuentra en $(0,R)$ . Y se obtiene un círculo con radio $r$ . ¿Qué sólido se obtiene al girar un círculo a lo largo del eje? Parece un disco cilíndrico circular.

Se parece a esto (Se llama Torus ):

El volumen del Torus dado sería Volumen del cilindro= Área de la sección transversal $\times$ Longitud= $\pi r^2 \cdot 2 \pi R=2 \pi^2Rr^2$

Answer 3

Obsérvese que la curva (una circunferencia) no se cruza con el $x$ -eje. (¿Por qué no?) Además, es simétrica respecto al $y$ -por lo que el volumen de su sólido de revolución será el doble del volumen del sólido de revolución de la región limitada a la izquierda por el $y$ -y a la derecha por la curva dada. Así, por el método de los casquillos cilíndricos, el volumen deseado será $$2\cdot 2\pi\int_{R-r}^{R+r}y\sqrt{r^2-(y-R)^2}\,dy.$$ ¿Puedes llevarlo a partir de ahí (tal vez haciendo una conveniente $u$ -sustitución)?